Problema sulla circonferenza569844

[wade.97]

scrivi l'equazione della circonferenza che ha il centro C sull'asse x e passa per ipunti a(0;2)e b(-1/2;-3/2).tra le rette parallele alla bisettrice dei II e IV quadrante trova quelle su cui la circonferenza,intersecandole stacca una corda lunga 5/2 radical 2. l'ho gia fatta per via analitica ma il professore ci ha chiesto se c'è una via geometrica più semplice

[Studente Anonimo]

Dunque, tenendo conto che la circonferenza incognita ha centro sull'asse
delle ascisse e che passa per i punti

[math]A(0, \; 2)[/math]

e

[math]B\left(-\frac{1}{2}, \; -\frac{3}{2}\right)[/math]

si
risale in maniera molto semplice alla propria equazione cartesiana, ossia

[math]x^2 + y^2 - 3x - 4 = 0[/math]

dalla quale, in maniera altrettanto semplice,
si ricavano centro

[math]C\left(\frac{3}{2}, \; 0\right)[/math]

e raggio

[math]R = \frac{5}{2}\\[/math]

.

A questo punto, per rispondere al secondo quesito, dobbiamo determinare
le equazioni cartesiane di rette del tipo

[math]y = - x + q[/math]

tali per cui stacchino
sulla circonferenza appena determinata delle corde lunghe

[math]\frac{5}{2}\sqrt{2}\\[/math]

.

Dovrebbe balzare all'occhio che tale misura è esattamente

[math]\sqrt{2}[/math]

volte quella
del raggio della circonferenza, ossia corrisponde alla misura della diagonale
di un quadrato di lato il raggio della circonferenza. Siamo praticamente al
traguardo. Infatti ora è immediato capire che tali rette passeranno esattamente
per i punti in cui la circonferenza interseca l'asse delle x; per questioni di sim-
metria

[math]q[/math]

coincide con le ascisse di tali punti:

[math]q_{1,2} = x_C \pm R[/math]

. :)

[Studente Anonimo]

1. Osserva che deve essere

[math]L_{corda} = \sqrt{2}\,R\\[/math]

.

2. Nota inoltre che le rette

[math]y = -x+q[/math]

avendo coefficiente
angolare

[math]m=-1[/math]

formano con l'asse delle ascisse un angolo
pari a

[math]\arctan(-1)=135°[/math]

e quindi l'angolo supplementare
è pari a

[math]180° - 135° = 45°\\[/math]

.

3. Facendo un bel disegno chiaro e grande si nota che le uniche
corde soluzione del problema sono le seguenti:


4. Infine, osserva che

[math]\small x_{q'} = x_c - R, \; x_{q} = x_c + R[/math]

e
che le rette essendo parallele ad una bisettrice di due
quadranti staccano sull'asse delle ascisse segmenti di
ugual lunghezza a quelli sull'asse delle ordinate.

5. Si conclude, dunque, che

[math]q_{1,2} = x_c \pm R[/math]

. :)