Problema sulla circonferenza in geometra analitica
scrivere le equazioni delle circonferenze tangenti alla retta 2x+y-4=0 nel sup punto di ascissa 1 e che staccano sull'asse x una corda lunga 4.
Allora so che potrei risolvere il problema facendo un sistema ma questo metodo non mi piace perchè il sistema è troppo pesante.
Io ho ragionato così: il punto di tangenza sarà P(1,2) scrivo l'equazione della retta passante per P e perpendicolare alla tangente e so che qui è il centro. Faccio la distanza tra P e l'asse x e trovo che la distanza è 2. Faccio 2^2+4^2 e mi trovo il diametro delle due circonferenze poichè questi due numeri sono i cateti di un triangolo rettangolo. Il raggio delle circonferenze sarà dunque RAD5.
Ora però non riesco a trovarmi le coordinate dei centri. Mi potreste aiutare proponendomi metodi simili a quelli che usato per trovare il raggio?
Il triangolo è effettivamente rettangolo?
Ringrazio tutti quelli disposti ad aiutarmi
Allora so che potrei risolvere il problema facendo un sistema ma questo metodo non mi piace perchè il sistema è troppo pesante.
Io ho ragionato così: il punto di tangenza sarà P(1,2) scrivo l'equazione della retta passante per P e perpendicolare alla tangente e so che qui è il centro. Faccio la distanza tra P e l'asse x e trovo che la distanza è 2. Faccio 2^2+4^2 e mi trovo il diametro delle due circonferenze poichè questi due numeri sono i cateti di un triangolo rettangolo. Il raggio delle circonferenze sarà dunque RAD5.
Ora però non riesco a trovarmi le coordinate dei centri. Mi potreste aiutare proponendomi metodi simili a quelli che usato per trovare il raggio?
Il triangolo è effettivamente rettangolo?
Ringrazio tutti quelli disposti ad aiutarmi
Risposte
se quanto detto finora è esatto, allora i due centri, dovendo avere distanza RAD5 dal punto P, devono essere i punti d'intersezione tra la retta già trovata (perpendicolare a alla tangente e passante per P) e la circonferenza di centro P e raggio RAD5. OK? ciao.
non è rettangolo perchè ho fatto giustamente quello che mi dici e non riesce. che posso fare?
Io partirei dall'equazione della circonferenza generica:
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$
con i dati che abbiamo otteniamo che con $y=0$ la corda su $x$ è lunga $4$, ovvero:
$(x-x_c)^2+(y_c)^2=R^2$
da cui:
$x_0= x_c+sqrt(R^2-y_c^2)$
$x_1= x_c-sqrt(R^2-y_c^2)$
con:
$4=x_1-x_0 = 2*sqrt(R^2-y_c^2)$
$R^2-y_c^2=4$
Ovvero $y_c = sqrt(R^2-4)$ oppure $y_c = - sqrt(R^2-4)$
Con la retta che hai trovato tu passante per P e perpendicolare dovresti poi trovare il centro della/e circonferenza/e
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$
con i dati che abbiamo otteniamo che con $y=0$ la corda su $x$ è lunga $4$, ovvero:
$(x-x_c)^2+(y_c)^2=R^2$
da cui:
$x_0= x_c+sqrt(R^2-y_c^2)$
$x_1= x_c-sqrt(R^2-y_c^2)$
con:
$4=x_1-x_0 = 2*sqrt(R^2-y_c^2)$
$R^2-y_c^2=4$
Ovvero $y_c = sqrt(R^2-4)$ oppure $y_c = - sqrt(R^2-4)$
Con la retta che hai trovato tu passante per P e perpendicolare dovresti poi trovare il centro della/e circonferenza/e
secondo me quando hai scritto
[citazione]"Faccio la distanza tra P e l'asse x e trovo che la distanza è 2. Faccio 2^2+4^2 e mi trovo il diametro delle due circonferenze poichè questi due numeri sono i cateti di un triangolo rettangolo. Il raggio delle circonferenze sarà dunque RAD5."[/citazione]
hai sbagliato nel fare 2^2+4^2: perché lo chiami diametro? le due circonferenze, poi, mica devono avere lo stesso raggio?
rifletti: se sei certo del passaggio, facci capire. ciao.
[citazione]"Faccio la distanza tra P e l'asse x e trovo che la distanza è 2. Faccio 2^2+4^2 e mi trovo il diametro delle due circonferenze poichè questi due numeri sono i cateti di un triangolo rettangolo. Il raggio delle circonferenze sarà dunque RAD5."[/citazione]
hai sbagliato nel fare 2^2+4^2: perché lo chiami diametro? le due circonferenze, poi, mica devono avere lo stesso raggio?
rifletti: se sei certo del passaggio, facci capire. ciao.
si ho sbagliato nel fare quello ma ora ho trovato un altro metodo:
scrivo l'equazione della retta passante per P e perpendicolare alla tangente e so che qui è il centro e imposto il centro in funzione di t: se la retta sarà ad es.y=x+2 darò al centro coordinate C(t,t+2) poi farò distanza centro in funzione di t retta tangente e otterrò il raggio in funzione di t: poi farò la somma delle coordinate del centro in funzione di t al quadrato meno raggio in funzione di t al quadrato e otterrò gamma in funzione di t. ora scrivo l'equazione della circonferenza in funzione di t e la interseco con y=0 in seguito faccio la distanza coi 2 punti che ho trovati in funzione di t e la faccio uguale a 4.
Otterrò due valori di t che mi daranno le due circonferenze cercate. Il metodo che vi ho detto adesso mi è riuscito ma mi interessano anche soluzioni alternative alla mia che magari siano più belle dal punto di vista matematico.
Ringrazio tutti quelli che vorranno aiutarmi.
scrivo l'equazione della retta passante per P e perpendicolare alla tangente e so che qui è il centro e imposto il centro in funzione di t: se la retta sarà ad es.y=x+2 darò al centro coordinate C(t,t+2) poi farò distanza centro in funzione di t retta tangente e otterrò il raggio in funzione di t: poi farò la somma delle coordinate del centro in funzione di t al quadrato meno raggio in funzione di t al quadrato e otterrò gamma in funzione di t. ora scrivo l'equazione della circonferenza in funzione di t e la interseco con y=0 in seguito faccio la distanza coi 2 punti che ho trovati in funzione di t e la faccio uguale a 4.
Otterrò due valori di t che mi daranno le due circonferenze cercate. Il metodo che vi ho detto adesso mi è riuscito ma mi interessano anche soluzioni alternative alla mia che magari siano più belle dal punto di vista matematico.
Ringrazio tutti quelli che vorranno aiutarmi.
sì, come hai detto adesso va bene. in alternativa potresti partire dall'equazione generica di una circonferenza ed imporre:
il passaggio per A e la tangenza.
la lunghezza della corda: è abbastanza semplice ed interessante...
ciao.
il passaggio per A e la tangenza.
la lunghezza della corda: è abbastanza semplice ed interessante...
ciao.
a questo ci avevo già pensato ma viene fuori un sistema troppo pesante.
Comunque se ti viene in mente un altro metodo più elegante di quello che ho trovato io non esitare a farmelo sapere. Sono sicuro che c'è qualcosa ancora più semplice del mio metodo. Il fatto è che non riesco a trovarlo.
Ringrazio tutti quelli che vorranno aiutarmi.
ciao
Comunque se ti viene in mente un altro metodo più elegante di quello che ho trovato io non esitare a farmelo sapere. Sono sicuro che c'è qualcosa ancora più semplice del mio metodo. Il fatto è che non riesco a trovarlo.
Ringrazio tutti quelli che vorranno aiutarmi.
ciao
guarda che la lunghezza della corda viene semplicissima:
${[x^2+y^2+ax+by+c=0], [y=0] :}->x^2+ax+c=0->x_(1,2)=-a/2+-(sqrt(a^2-4c))/2$
se la lunghezza della corda deve essere 4, tale sarà $x_2-x_1$, cioè $sqrt(a^2-4c)=4$
se era questo che ti spaventava...
ciao.
${[x^2+y^2+ax+by+c=0], [y=0] :}->x^2+ax+c=0->x_(1,2)=-a/2+-(sqrt(a^2-4c))/2$
se la lunghezza della corda deve essere 4, tale sarà $x_2-x_1$, cioè $sqrt(a^2-4c)=4$
se era questo che ti spaventava...
ciao.
si può evitare di usare la condizione di tangenza:
dall'equazione della retta che dovresti aver trovato (quella che contiene i centri) $y=1/2x+3/2$
ti puoi ricavare la relazione tra a e b e quindi risolvere, insieme con l'equazione ricavata dal "passaggio" per P e con quella che ti ho scritto nel post precedente:
${[a+2b+c=-5], [a^2-4c=16], [b=1/2a-3] :}$
spero ti sia utile. tra poco devo chiudere e non mi potrò far risentire per qualche giorno. ciao.
dall'equazione della retta che dovresti aver trovato (quella che contiene i centri) $y=1/2x+3/2$
ti puoi ricavare la relazione tra a e b e quindi risolvere, insieme con l'equazione ricavata dal "passaggio" per P e con quella che ti ho scritto nel post precedente:
${[a+2b+c=-5], [a^2-4c=16], [b=1/2a-3] :}$
spero ti sia utile. tra poco devo chiudere e non mi potrò far risentire per qualche giorno. ciao.
Ciao ho pensato ad un altro metodo:
scrivo l'equazione della retta passante per P e perpendicolare alla tangente e so che qui è il centro. Lo scrivo in funzione di t e dopo scrivo il raggio in funzione di t facendo distanza centro in funzione di t e retta tangente. Poi faccio la distanza tra centro in funzione di t e l'asse delle x e questa distanza la conosco già perchè se Cin funzione di t è C(t,t+3) ad esempio risulta ovvio che la distanza sarà dall'asse x t+3 cioè l'ordinata del centro. Ora il triangolo avente per vertici il centro C,il punto medio Mdella corda in questione e uno degli estremi ,A,di tale corda è rettangolo e i suoi cateti misurano ad esempio:
MC: It+3I MA:2 CA: RADIt+3I^2+4 Ora CA è il raggio ma pure quello di prima con la retta tangente era il raggio dunque: RADIt+3I^2+4=distanza centro in funzione di t retta tangente.
Ora svolgo i calcoli e ti dico se riesce comunque credo che non debbano esserci problemi.
Questo metodo che ho pensato adesso ,una volta verificato, mi sembra molto più bello del primo comunque ringrazio tutti quelli che vorranno consigliarmi altri metodi ancora.
scrivo l'equazione della retta passante per P e perpendicolare alla tangente e so che qui è il centro. Lo scrivo in funzione di t e dopo scrivo il raggio in funzione di t facendo distanza centro in funzione di t e retta tangente. Poi faccio la distanza tra centro in funzione di t e l'asse delle x e questa distanza la conosco già perchè se Cin funzione di t è C(t,t+3) ad esempio risulta ovvio che la distanza sarà dall'asse x t+3 cioè l'ordinata del centro. Ora il triangolo avente per vertici il centro C,il punto medio Mdella corda in questione e uno degli estremi ,A,di tale corda è rettangolo e i suoi cateti misurano ad esempio:
MC: It+3I MA:2 CA: RADIt+3I^2+4 Ora CA è il raggio ma pure quello di prima con la retta tangente era il raggio dunque: RADIt+3I^2+4=distanza centro in funzione di t retta tangente.
Ora svolgo i calcoli e ti dico se riesce comunque credo che non debbano esserci problemi.
Questo metodo che ho pensato adesso ,una volta verificato, mi sembra molto più bello del primo comunque ringrazio tutti quelli che vorranno consigliarmi altri metodi ancora.
"adaBTTLS":
si può evitare di usare la condizione di tangenza:
dall'equazione della retta che dovresti aver trovato (quella che contiene i centri) $y=1/2x+3/2$
E' possibile sfruttare questo fatto anche così:
la relazione tra il raggio $R$ e l'ordinata del centro $y_C$ è (basta fare un disegno)
$R^2 = y^2_C + 2^2$ cioè $R^2 = y^2_C + 4$
poi, visto che il raggio della circonferenza è dato dalla distanza di $C$ dal punto $(1;2)$, si ottiene
un'altra relazione:
$R^2 = (x_C - 1)^2 + (y_C - 2)^2$
sostituendo $x_C = 2 y_C - 3$ si ha un sistema in due incognite:
$\{ (R^2 = y^2_C + 4),(R^2 = ((2 y_C - 3) - 1)^2 + (y_C - 2)^2) :}$
che possiamo risolvere con il metodo del confronto.
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