Problema sulla circonferenza (62569)

[Giu13]

Nell'equazione xalla 2°,yalla 2°-(a-1)x più (2a-3)y-a=0 trovare le condizioni affinchè sia una circonferenza e in questo caso determinare a affinchè sia tg alla retta //asse x passante per (2.10)

[BIT5]

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Aggiunto 17 minuti più tardi:

L'equazione e'

[math] x^2+y^2-(a-1)x+(2a-3)y-a=0 [/math]

Ricordando l'equazione canonica della circonferenza

[math] x^2+y^2+Ax+by+c=0 [/math]

(ho scritto A per non confonderci con il parametro dell'esercizio)

Avremo che

[math] A=-(a-1) \\ \\ b=2a-3 \\ \\ c=-a [/math]

Per essere una circonferenza, la lunghezza del raggio dovra' avere significato.

Siccome il raggio e'

[math] r= \sqrt{\(-\frac{A}{2} \)^2+ \(- \frac{b}{2} \)^2-c} [/math]

Per avere significato, la quantita' sotto radice dovra' essere maggiore (o uguale a zero, nel caso limite della circonferenza coincidente con un punto)

Quindi nell'esercizio avremo che

[math] \(- \frac{-(a-1)}{2} \)^2 + \(- \frac{2a-3}{2} \)^2--a \ge 0 [/math]

Da cui

[math] \frac{a^2-2a+1}{4} + \frac{4a^2-12a+9}{4} + a \ge 0 [/math]

Quindi, minimo comune multiplo ed eliminazione del denominatore

[math] a^2-2a+1+4a^2-12a+9+4a \ge 0 \to 5a^2-10a+10 \ge 0 \to \\ \\ \\ \to a^2-2a+2 \ge 0 [/math]

L'equazione associata non ha soluzioni (delta minore di zero) pertanto l'equazione fornita dall'esercizio esprime sempre l'equazione di una circonferenza, in quanto qualunque valore assegni al parametro, il raggio ha significato.

Per la seconda parte:

Vogliamo che la circonferenza intersechi la retta y=10 (tutte le rette parallele all'asse x sono della forma y=k dove k e' il valore dell'ordinata del punto) in due punti coincidenti.

Calcoliamo dunque dapprima i generici punti di intersezione tra il fascio di circonferenze e la retta:

[math] \{y=10 \\ x^2+y^2-(a-1)x+(2a-3)y-a=0 [/math]

sostituiamo a tutte le y della circonferenza, il valore 10 e otteniamo

[math] x^2+100-(a-1)x+(2a-3)(10)-a=0 \to x^2+100-(a-1)x+20a-30-a=0 \to \\ \\ \\ \\ \to x^2+(a-1)x+19a+70=0 [/math]

Abbiamo un'equazione di secondo grado. Le soluzioni esprimeranno i valori delle ascisse dei punti di intersezione, ma noi vogliamo che le intersezioni non siano due punti distinti, bensi' due punti coincidenti.

Un'equazione di secondo grado da' come soluzione due valori coincidenti se il Delta e' = 0, quindi

[math] \Delta = (-(a-1))^2-4(1)(19a+70)=0 \to a^2-2a+1-76a-280=0 \to a^2-78a-279=0 [/math]

Risolvi l'equazione e trovi i due valori di a che soddisfano l'equazione e che sostituiti al fascio di circonferenze, daranno le due circonferenze del fascio tangenti alla retta data.

Due cose:

1)i numeri vengono bruttini, ricontrollo i calcoli ma fallo anche tu
2) caspita, capisco non usare il linguaggio matematico (latex) ma almeno scrivere + anziche' "piu'" non sarebbe male!