Problema sulla circonferenza
buonasera a tutti nn riesco a risolvere questo problema, potreste darmi una mano perfavore?
Dopo aver scritto l'equazione della circonferenza avente il centro C(xc;-2) appartenente alla retta di equazione 2x+y+4=0 e tangente alla retta t.3x+4y-14=0, determina:
a. il fascio di rette di sostegno T di tangenza della cirocnferenza con la retta t;
b. le rette del fascio che staccano sulla circonferenza una corda lunga 3$sqrt10$ e sia r quella avente coefficiente angolare maggiore;
c. un punto P in modo tale che il quadrilatero PTCR sia un rombo, con R ulteriore punto di intersezione della retta r con la circonferenza.
io riesco a trovare solo la cirocnferenza che è $x^2+y^2+2x+4y-20=0$
Dopo aver scritto l'equazione della circonferenza avente il centro C(xc;-2) appartenente alla retta di equazione 2x+y+4=0 e tangente alla retta t.3x+4y-14=0, determina:
a. il fascio di rette di sostegno T di tangenza della cirocnferenza con la retta t;
b. le rette del fascio che staccano sulla circonferenza una corda lunga 3$sqrt10$ e sia r quella avente coefficiente angolare maggiore;
c. un punto P in modo tale che il quadrilatero PTCR sia un rombo, con R ulteriore punto di intersezione della retta r con la circonferenza.
io riesco a trovare solo la cirocnferenza che è $x^2+y^2+2x+4y-20=0$
Risposte
"the world":
Dopo aver scritto l'equazione della circonferenza avente il centro C(xc;-2) appartenente alla retta di equazione 2x+y+400 e tangente alla retta t.3x+4y-1400, determina:
[...]
io riesco a trovare solo la cirocnferenza che è $x^2+y^2+2x+4y-20=0$
buonasera.
puoi riscrivere la retta del centro, perchè il centro della tua circonferenza $(-1;-2)$ non sta su quella retta.
a proposito è così?
$2x+y+400 =0$
scusa, ho corretto la traccia ora è esatta
ok.
(a) Trovati le coordinate del punto T, poi scrivi l'equazione del fascio passante per T.
$y-y_T=m(x-x_T)
(b) risolvi il sistema fasciorette-circonferenza e trovi T e R in funzione di m. Poni $TR=3sqrt10$ e calcoli m.
(a) Trovati le coordinate del punto T, poi scrivi l'equazione del fascio passante per T.
$y-y_T=m(x-x_T)
(b) risolvi il sistema fasciorette-circonferenza e trovi T e R in funzione di m. Poni $TR=3sqrt10$ e calcoli m.
quanto esce T? nn lo riesco a trovare
"the world":
quanto esce T? nn lo riesco a trovare
scusa, come hai calcolato l'eq. della circonferenza? qualcosa non torna
il coefficiente della perpendicolare è l'antireciproco della tangente? il fascio mi esce :Y=mx-2m+2
"the world":
il coefficiente della perpendicolare è l'antireciproco della tangente?
sì, ma quanto vale il raggio della tua circonferenza? come l'hai calcolato?
a me il ragio esce 5, e l'eq. della circonferenza è la stessa che pporta il libro
"the world":
il coefficiente della perpendicolare è l'antireciproco della tangente? il fascio mi esce :Y=mx-2m+2
fai così:
$y-y_c=m(x-x_c) => y+2=4/3*(x+1)$
e metti a sistema con la tangente data. ti trovi le coordinate di T.
una volta trovato T come proseguo?
"the world":
a me il ragio esce 5, e l'eq. della circonferenza è la stessa che pporta il libro
è giusto, allora perchè il sistema circonferenza tangente non ti esce?
$x^2 + (- 3/4·x + 7/2)^2 + 2·x + 4·(- 3/4·x + 7/2) - 20 = 0$
con qualche calcolo arrivi qui:
$25·(x^2 - 4·x + 4)/16 = 0$
$(x-2)^2=0$
da cui $X_T=2$ e $Y_T=2$, ottenuto sostituendo il valore di x trovato nell'eq. della tangente.
con qualche calcolo arrivi qui:
$25·(x^2 - 4·x + 4)/16 = 0$
$(x-2)^2=0$
da cui $X_T=2$ e $Y_T=2$, ottenuto sostituendo il valore di x trovato nell'eq. della tangente.
e qua ci sono, per proseguire e quindi risolvere il punto b come devo fare?
"the world":
e qua ci sono, per proseguire e quindi risolvere il punto b come devo fare?
metti a sistema il fascio per T $y-2=m(x-2)$ con la circonferenza e risolvi.
escono numeri starni, se nn ti dispiace potresti scrivermi come viene la forma risolta? io ora devo andare grazie dell'aiuto
$x^2 + (m·x - 2·m + 2)^2 + 2·x + 4·(m·x - 2·m + 2) - 20 = 0$
$x^2 + (m·x)^2 + (m·(- 4·m + 4) + 2)·x + (- 2·m + 2)^2 + 4·(m·x - 2·m + 2) - 20 = 0$
$x^2·(m^2 + 1) - 2·x·(2·m^2 - 4·m - 1) + 4·(m^2 - 4·m - 2) = 0$
se tutto fila liscio arrivi alle due soluzioni:
$X_R = (2·(m^2 - 4·m - 2))/(m^2 + 1) ∨ X_T = 2$
sostituendo trovi
$Y_R=(2-6m-6m^2)/(m^2+1)$
a questo punto poni:
$\bar(TR)^2=(Y_T-Y_R)^2+(X_T-X_R)^2$
$(Y_T-Y_R)^2+(X_T-X_R)^2=(3sqrt10)^2$
però i calcoli si fanno domani, buonanotte
$x^2 + (m·x)^2 + (m·(- 4·m + 4) + 2)·x + (- 2·m + 2)^2 + 4·(m·x - 2·m + 2) - 20 = 0$
$x^2·(m^2 + 1) - 2·x·(2·m^2 - 4·m - 1) + 4·(m^2 - 4·m - 2) = 0$
se tutto fila liscio arrivi alle due soluzioni:
$X_R = (2·(m^2 - 4·m - 2))/(m^2 + 1) ∨ X_T = 2$
sostituendo trovi
$Y_R=(2-6m-6m^2)/(m^2+1)$
a questo punto poni:
$\bar(TR)^2=(Y_T-Y_R)^2+(X_T-X_R)^2$
$(Y_T-Y_R)^2+(X_T-X_R)^2=(3sqrt10)^2$
però i calcoli si fanno domani, buonanotte
$(4·m^2·(4·m + 3)^2)/(m^2 + 1)^2+(4·(4·m + 3)^2)/(m^2 + 1)^2=90$
$4·m^2·(4·m + 3)^2 + 4·(4·m + 3)^2 - 90·(m^2 + 1)^2 = 0$
$(m^2 + 1)·(13·m^2 - 48·m + 27) = 0$
il primo termine non si annulla in $RR$
per il secondo abbiamo: $m_1=9/13$ e $m_2=3$ (ed è quello che interessa a noi)
sostituendo in $X_R = (2·(m^2 - 4·m - 2))/(m^2 + 1) $ e $Y_R=(2-6m-6m^2)/(m^2+1)$ si ha:
$R(-1;-7)$ e la retta $r$ di equazione $y=3x-4$
$4·m^2·(4·m + 3)^2 + 4·(4·m + 3)^2 - 90·(m^2 + 1)^2 = 0$
$(m^2 + 1)·(13·m^2 - 48·m + 27) = 0$
il primo termine non si annulla in $RR$
per il secondo abbiamo: $m_1=9/13$ e $m_2=3$ (ed è quello che interessa a noi)
sostituendo in $X_R = (2·(m^2 - 4·m - 2))/(m^2 + 1) $ e $Y_R=(2-6m-6m^2)/(m^2+1)$ si ha:
$R(-1;-7)$ e la retta $r$ di equazione $y=3x-4$
Il grafico è questo
[asvg]xmin=-11;xmax=11;ymax=11;ymin=-11;
axes();
circle([-1,-2],5);
plot("3*x-4");
dot([2,2]);dot([-1,-2]);dot([-1,-7]);
text([2.5,2.5], "T");text([-1.5,-2.5], "C");text([-2,-7.5], "R");
stroke="blue";
line([2,2],[-1,-2]);line([-1,-7],[-1,-2]);[/asvg]
[asvg]xmin=-11;xmax=11;ymax=11;ymin=-11;
axes();
circle([-1,-2],5);
plot("3*x-4");
dot([2,2]);dot([-1,-2]);dot([-1,-7]);
text([2.5,2.5], "T");text([-1.5,-2.5], "C");text([-2,-7.5], "R");
stroke="blue";
line([2,2],[-1,-2]);line([-1,-7],[-1,-2]);[/asvg]
come so che la corda è TR?
"the world":
come so che la corda è TR?
"[...] le rette del fascio che staccano sulla circonferenza una corda lunga $3sqrt10$ [...]"
Se la retta deve appartenere al fascio, necessariamente passa per T, inoltre R è l'altro punto di intersezione con la circonferenza, come si evice dal testo del problema.
Dunque la corda è TR (aiutati col disegno)
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