Problema sulla circonferenza (39588)

[elbarto1993]

Una circonferenza passa per l'origine del sistema di riferimento, ha il centro sulla bisettrice del 1° quadrante ed è tangente in A alla retta t di equazione x+y-8=0. Scrivere l'equazione della circonferenza.

[BIT5]

la bisettrice del primo quadrante ha tutti i punti della forma y=x

quindi la y e la x del centro sono uguali.

Pertanto

[math] - \frac{a}{2} = - \frac{b}{2} \to a=b [/math]

La circonferenza sara' della forma

[math] x^2+y^2+ax+ay+c=0 [/math]

Poi dal momento che passa per l'origine sara' vero che

[math] 0^2+0^2+a0+a0+c=0 \to c=0 [/math]

Quindi

[math] x^2+y^2+ax+ay=0 [/math]

La circonferenza e' tangente.

Sopra abbiamo un fascio di circonferenze, che intersecano la retta nei punti seguenti:

[math] \{x^2+y^2+ax+ay=0 \\ y=-x+8 [/math]

sostituiamo alla y della circonferenza il corrispondente -x+8

[math] x^2+(-x+8 )^2+ax+a(-x+8 )=0 \to \\ \to x^2+x^2-16x+64+ax-ax+8a=0 [/math]

e dunque

[math] 2x^2-16x+64+8a=0 [/math]

dividiamo tutto per 2

[math] x^2-8x+32+4a=0 [/math]

Ora, se il delta della equazione di secondo grado di cui sopra, e' maggiore di zero, significhera' che la retta interseca la circonferenza in due punti distitni.

Se e' minore di zero, significhera' che la retta e' esterna alla circonferenza.

Se delta =0, i punti saranno due coincidenti (ovvero uno solo) e quindi la retta tangente. E' il caso che ci interessa.

Usiamo la ridotta, dal momento che b e' pari

[math] \Delta= 4^2-(32+4a)=0 \to 16-32-4a=0 \to a=-4 [/math]

la circonferenza sara'

[math] x^2+y^2-4x-4y=0 [/math]

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