Problema sull equazione della circonferenza

[vincenzina.panebianco]

Mi potete aiutare per favore? nn ci capisco niente con questo problema
Scrivi l equazione della circonferenza che ha centro sulla retta y=-1 ed è tangente alla retta 2x+y-1=0 e x-2y +2
GraZie mille in anticipoo

[melody_gio]

sposto in matematica.

[mc2]

Il centro della circonferenza e` il punto C di coordinate

[math](c,-1)[/math]

, il raggio e`

[math]R[/math]

. I parametri

[math]c[/math]

ed

[math]R[/math]

sono incogniti.
Scriviamo l'equazione della circonferenza nella forma:

[math](x-c)^2+(y+1)^2=R^2[/math]

Le rette date sono tangenti alla circonferenza: quindi la distanza del centro C da ognuna di esse e` uguale al raggio della circonferenza.

Distanza di C da retta 2x+y-1=0 :

[math]d_1=\frac{|2c-1-1|}{\sqrt{5}}[/math]

Distanza di C da retta x-2y +2=0 :

[math]d_2=\frac{|c+2+2|}{\sqrt{5}}[/math]

[math]d_1[/math]

e

[math]d_2[/math]

devono essere uguali al raggio R e quindi dovranno anche essere uguali tra loro:

[math]d_1=d_2~~~\Rightarrow~~~|2c-1-1|=|c+2+2|[/math]

Ci sono due possibilita`:

1)

[math]2c-1-1=c+2+2~~~\Rightarrow~~~c=6[/math]

da cui si ricava

[math]R=d_1=2\sqrt{5}[/math]

e l'equazione della circonferenza e`

[math](x-6)^2+(y+1)=20~~~\Rightarrow~~~
x^2+y^2-12x+2y+17=0
[/math]

2)

[math]2c-1-1=-c-2-2~~~\Rightarrow~~~c=-\frac{2}{3}[/math]

da cui si ricava

[math]R=d_1=\frac{2}{3}\sqrt{5}[/math]

e l'equazione della circonferenza e`

[math](x+\frac{2}{3})^2+(y+1)=\frac{20}{9}~~~\Rightarrow~~~
9x^2+9y^2+12x+18y-7=0
[/math]

Quindi il problema ammette due soluzioni.