Problema sul moto uniformemente accelerato

[Riccardo95]

Non riesco a capire come risolvere questo problema:
corsa sulla distanza di 50 metri.
un corridore percorre questa distanza in 7,88 secondi.
Prima accellera a 3,80m/sec2 poi in moto rettilineo uniforme alla velocità massima fino alla fine.
Quale la distanza percorsa in accelerazione?
La risposta è 6,85 metri.... ma come ci si arriva...?
chi è così gentile da spiegarmelo?

[Newton_1372]

si ci arriva conoscendo le formule del moto uniformemente accelerato e del moto rettilineo uniforme! Riportiamole

MOTO RETTILINEO UNIFORME

[math]x=x_0+vt\\\\v=\frac{x}{t}[/math]

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

[math] v_f=v_i+at\\\\x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2[/math]

Innanzitutto occorre ricordare che il moto non è uguale per tutti i 50 metri, non trovi? Abbiamo una prima parte in cui il corridore accelera, e una seconda parte in cui corre a velocità costante. Per questo, occorre "spezzettare il problema", separando il momento in cui il corridore accelera da quello in cui corre a velocità costante (continua)

Aggiunto 9 minuti più tardi:

Scomponiamo quindi il moto nelle due parti. Chiamiamo

[math] t_a = [/math]

tempo percorso in accelerazione.

[math] t_c = [/math]

tempo percorso a velocità costante.

[math] x_a = [/math]

lo spazio percorso durante l'accelerazione.

[math] x_c = [/math]

lo spazio percorso a velocità costante.

Si evince subito che la somma dei due tempi fa il tempo totale, e la somma degli spazi fa lo spazio totale; quindi valgono le relazioni seguenti:

[math] t_a+t_c=7,88s\to{t_c=7,88-7_a}\\x_a+x_c=50m\to{x_c=50-x_a}[/math]

Trattiamo ora SOLO la parte dell'accelerazione.
Lo spazio percorso durante l'accelerazione sarà uguale a

[math] x = x_0+v_0t-\frac{1}{2}at_a^2 [/math]

Il punto iniziale possiamo imporlo uguale a 0, e se il corridore parte da fermo anche la velocità iniziale è nulla, quindi possiamo eliminare i primi due pezzetti della nostra formula.
La formula finale per il moto uniformemente accelerato è

[math]x_a=\frac{1}{2}at_a^2[/math]

Aggiunto 10 minuti più tardi:

Adesso troviamo la formula dello spazio percorso nella velocità costante. si avrà

[math]x_c=x_0+vt_c[/math]

(1)
Notasi che compare una terza variabile, la v, cioè la velocità finale durante il moto accelerato, che si conserverà costante nella seconda parte del moto. Secondo le leggi del moto uniformemente accelerato, tale velocità si calcola nel modo seguente

[math]v=v_0+at_a[/math]

, ovviamente considerando nulla la velocità iniziale e sostituendo l'equazione di v ottenuta nella formula (1), si ottiene

[math]x_c=x_0+at_at_c\to{50-x_a=x_0+at_a(7,88-t_a)}[/math]

anche la posizione iniziale l'avevamo posta a 0, quindi

[math]x_0[/math]

scompare. Si ottiene così la formula finale della parte del moto a velocità uniforme:

[math]50-x_a=7,88at_a-at_a^2[/math]

Aggiunto 8 minuti più tardi:

Trovate le due formule ricavate dal moto accelerato e uniforme, basta porle a sistema:

[math]\begin{cases} x_a=\frac{1}{2}at_a^2\\\\50-x_a=7,88at_a-at_a^2\end{cases}[/math]

Proviamo a ricavare x_a dalla seconda equazione.

[math]50-x_a=7,88at_a-at_a^2==>-x_a=7,88at_a-at_a^2-50\\x_a=-7,88at_a+at_a^2+50[/math]

Basta sostituire il valore ottenuto sulla prima equazione del sistema, e abbiamo finito!