Problema sul cono
Buonasera a tutti! Ancora l'insegnante non ha spiegato le proprietà del cono e non riesco a comprendere il seguente problema:
"Dividere la superficie laterale di un cono di raggio di base di misura $r$ in due parti equivalenti, mediante un piano parallelo alla base". Avrei posto come incognita il raggio della sezione ottenuta con il piano, ma non saprei come procedere...
Ringrazio anticipatamente coloro che mi aiuteranno.
"Dividere la superficie laterale di un cono di raggio di base di misura $r$ in due parti equivalenti, mediante un piano parallelo alla base". Avrei posto come incognita il raggio della sezione ottenuta con il piano, ma non saprei come procedere...
Ringrazio anticipatamente coloro che mi aiuteranno.
Risposte
conosci la similitudine?
Se sì usala per trovare l'apotema del nuovo cono, di cui troverai l'area laterale che imporrai uguale alla metà di quella del cono iniziale.
Se sì usala per trovare l'apotema del nuovo cono, di cui troverai l'area laterale che imporrai uguale alla metà di quella del cono iniziale.
Spero di non essere arrivato tardi. Avevo letto questo post, ma, purtroppo, non ricordavo dove....
Cominciamo con il dire che il CONO è un solido di rotazione; dato un triangolo rettangolo qualunque, facendolo ruotare attorno ad uno dei suoi cateti, si ottiene una figura spaziale con un vertice ed una base circolare: il Cono. Immaginiamo di tornare per un momento al triangolo che lo ha generato. Indichiamo con $b$ la base (uno dei due cateti) e con $h$ l'altezza (l'altro cateto). Un qualunque segmento parallelo all'altezza $h$ che intersechi perpendicolarmente la base $b$ in un qualunque punto, dà luogo a due triangoli simili (tre angoli coincidenti). Possiamo, allora, scrivere: $h/h'=b/x$, dove $h'$ è il valore dell'altezza del triangolo interno e $x$ la base del triangolo, sempre interno; ricaviamo $(1)\ x=(bh')/h$. Poichè si vuole che l'area del nuovo triangolo sia la metà di quello più grande, scriveremo: $(xh')/2 = 1/2((bh)/2) =1/2bh$; sostituendo ad $x$ il valore trovato dalla proporzione $(1)$ si ricava: $((bh')/h)h'=1/2bh$, da cui $h'^2=1/2h^2$. Ricordando che $h$ e $h'$ (altezze nel triangolo) rappresentano i raggi nel cono, possiamo scrivere, per evitare ambiguità: $r= (Rsqrt(2))/2$ (R raggio della base del cono originario, r raggio del cono con superficie laterale metà). Questo genererà un cono che ha la superficie laterale esattamente metà rispetto a quella del cono di partenza.
Ci resta, adesso, risolvere l'esercizio. Dati la Superficie laterale S del cono originario, ed il suo raggio di base, troviamo l'Apotema $a=S/(piR)$. Conoscendo apotema e raggio si ha: $senalpha=R/(s/(piR))$; possiamo, ora trovare il nuovo apotema del cono-metà che risulta: $xsenalpha=r'=(R sqrt(2))/2$, da cui $x=(R sqrt(2))/2*(1/(senalpha))=a'$, con $a'$ apotema del cono-metà. A questo punto, avendo $r'$ ed $a'$ si trova la superficie laterale del cono-metà che è soluzione dell'esercizio. (Per verifica si deve notare che la superficie laterale del tronco di cono ottenuto dal piano passante per $r$ risulta uguale)
Cominciamo con il dire che il CONO è un solido di rotazione; dato un triangolo rettangolo qualunque, facendolo ruotare attorno ad uno dei suoi cateti, si ottiene una figura spaziale con un vertice ed una base circolare: il Cono. Immaginiamo di tornare per un momento al triangolo che lo ha generato. Indichiamo con $b$ la base (uno dei due cateti) e con $h$ l'altezza (l'altro cateto). Un qualunque segmento parallelo all'altezza $h$ che intersechi perpendicolarmente la base $b$ in un qualunque punto, dà luogo a due triangoli simili (tre angoli coincidenti). Possiamo, allora, scrivere: $h/h'=b/x$, dove $h'$ è il valore dell'altezza del triangolo interno e $x$ la base del triangolo, sempre interno; ricaviamo $(1)\ x=(bh')/h$. Poichè si vuole che l'area del nuovo triangolo sia la metà di quello più grande, scriveremo: $(xh')/2 = 1/2((bh)/2) =1/2bh$; sostituendo ad $x$ il valore trovato dalla proporzione $(1)$ si ricava: $((bh')/h)h'=1/2bh$, da cui $h'^2=1/2h^2$. Ricordando che $h$ e $h'$ (altezze nel triangolo) rappresentano i raggi nel cono, possiamo scrivere, per evitare ambiguità: $r= (Rsqrt(2))/2$ (R raggio della base del cono originario, r raggio del cono con superficie laterale metà). Questo genererà un cono che ha la superficie laterale esattamente metà rispetto a quella del cono di partenza.
Ci resta, adesso, risolvere l'esercizio. Dati la Superficie laterale S del cono originario, ed il suo raggio di base, troviamo l'Apotema $a=S/(piR)$. Conoscendo apotema e raggio si ha: $senalpha=R/(s/(piR))$; possiamo, ora trovare il nuovo apotema del cono-metà che risulta: $xsenalpha=r'=(R sqrt(2))/2$, da cui $x=(R sqrt(2))/2*(1/(senalpha))=a'$, con $a'$ apotema del cono-metà. A questo punto, avendo $r'$ ed $a'$ si trova la superficie laterale del cono-metà che è soluzione dell'esercizio. (Per verifica si deve notare che la superficie laterale del tronco di cono ottenuto dal piano passante per $r$ risulta uguale)
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