Problema sui limiti

[macina18]

Testo del problema
Rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy sono date le due parabole di equazione :y=-$x^2$+4x; y= $x^2$-2x le quali hanno in comune i due punti O ed A. Sia P un punto del segmento OA.Condotte da P le parallele agli assi cartesiani, siano : E ed F i punti di monore ascissa in cui la parallela all'asse delle x taglia rispettivamente , le due curve; M ed N i punti in cui la parallela all'asse delle y taglia,rispettivamente,le due curve. Si chiede il limite del rapporto EF/MN al tendere di P ad O.
Risultato: 1/8

Io ho calcolato le coordinate di A(3;3) mettendo a sisteme le equazioni delle due parabole; poi assegno delle coordinate generiche a P che si trova sulla bisettrice del primo e terzo quadrante : P(t;t) con 0 Calcolo le coordinate di E( 2-$sqrt(4-t)$;t) ed F(1-$sqrt(1+t)$;t) e la misura di EF= mod($sqrt(4-t)$-$sqrt(1+t)$-1) mentre MN= mod(-2$t^2$+6t)
E' corretto quello che ho calcolato? E il limite come viene 1/8?
Grazie

[giammaria2]

Mi sembra tutto giusto; i moduli non sono necessari perché dalla figura si deduce in che ordine vanno fatte le differenze ma possono anche restare perché non danno fastidio. Per il calcolo del limite devi razionalizzare il numeratore eliminando una radice alla volta (quindi occorrono due razionalizzazioni); non mi pare che ci siano metodi più rapidi anche se non lo escludo. Mi viene il risultato del libro.

[@melia]

Confermo in toto quanto detto da giammaria

[macina18]

Come devo razionalizzare il numeratore? non posso scrivere le frazioni così:
$sqrt(4-t)$/(-2$t^2$+6t) - $sqrt(1+t)$/(-2$t^2$+6t) - 1/(-2$t^2$+6t)
e così facendo posso razionalizzare ogni singolo numeratore; però per t che tende a zero ogni termine mi viene infinito.Done sbaglio?

[macina18]

Ho rifatto i calcoli con la razionalizzazione ; ottengo :
$((sqrt(4-t)-sqrt(1+t)-1)(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)+1))/((-2t^2+6t)(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)+1))$ =scrivo solo il numeratore visto che il den è uguale=
$4-t+1+t-2sqrt((4-t)(1+t))-1$ = $4-2sqrt((4-t)(1+t))$
metto un 2 in evidenza al numeratore e al denominatore e razionalizzo di nuovo moltiplicando sia il num che in den per
$2+sqrt((4-t)(1+t))$
ottengo al num dopo la razionalizzazione $4-4+t-t-t^2$ che ridotto mi dà $t^2 - 2t$
metto t in evidenza e lo divido con una t che ho al den e ottengo
$(t-2)/((-t+3)(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)+1)(2+sqrt((4-t)(1+t))))$
per t che tende a zero ottengo $-1/6$
dov'è l'errore?
Grazie per la Vostra pazienza

[macina18]

Ho trovato un errore
il num mi viene $t^2-3t$
ma così il lim mi viene $-1/8$
ora è il segno che non va

[chiaraotta1]

A me sembra così
$EF=2-sqrt(4-t)-(1-sqrt(1+t))=1-(sqrt(4-t)-sqrt(1+t))$
$MN=-2t^2+6t=2t(3-t)$.
Da cui
$(EF)/(MN)=(1-(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)))/(2t(3-t))=((1-(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)))(1+(sqrt(4-t)-sqrt(1+t))))/(2t(3-t)(1+(sqrt(4-t)-sqrt(1+t))))=$
$(2sqrt(4 - t)sqrt(t + 1) - 4)/(2t(3-t)(1+(sqrt(4-t)-sqrt(1+t))))=(2(sqrt(4 - t)sqrt(t + 1) - 2))/(2t(3-t)(1+(sqrt(4-t)-sqrt(1+t))))=$
$(sqrt(4 - t)sqrt(t + 1) - 2)/(t(3-t)(1+(sqrt(4-t)-sqrt(1+t))))=((sqrt(4 - t)sqrt(t + 1) - 2)(sqrt(4 - t)sqrt(t + 1) + 2))/(t(3-t)(1+(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)))(sqrt(4 - t)sqrt(t + 1) + 2))=$
$((4 - t)(t + 1) - 4)/(t(3-t)(1+(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)))(sqrt(4 - t)sqrt(t + 1) + 2))=(4t+4-t^2-t-4)/(t(3-t)(1+(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)))(sqrt(4 - t)sqrt(t + 1) + 2))=$
$(t(3-t))/(t(3-t)(1+(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)))(sqrt(4 - t)sqrt(t + 1) + 2))=1/((1+(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)))(sqrt(4 - t)sqrt(t + 1) + 2))$
Quindi
$lim_(t->0)(1-(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)))/(2t(3-t))=lim_(t->0)1/((1+(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)))(sqrt(4 - t)sqrt(t + 1) + 2))=1/((1+(2-1))(2*1 + 2))=1/8$

[Luana171]

come fai a risolvere il sistema per trovare A? a e non viene 3,3.

[Luana171]

niente ho capito il mio errore..

[theras]

"macina18":Ho rifatto i calcoli con la razionalizzazione ; ottengo :
$((sqrt(4-t)-sqrt(1+t)-1)(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)+1))/((-2t^2+6t)(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)+1))$ =scrivo solo il numeratore visto che il den è uguale=
$4-t+1+t-2sqrt((4-t)(1+t))-1$ = $4-2sqrt((4-t)(1+t))$
metto un 2 in evidenza al numeratore e al denominatore e razionalizzo di nuovo moltiplicando sia il num che in den per
$2+sqrt((4-t)(1+t))$
ottengo al num dopo la razionalizzazione $4-4+t-t-t^2$ che ridotto mi dà $t^2 - 2t$
metto t in evidenza e lo divido con una t che ho al den e ottengo
$(t-2)/((-t+3)(sqrt(4-t)-sqrt(1+t)+1)(2+sqrt((4-t)(1+t))))$
per t che tende a zero ottengo $-1/6$
dov'è l'errore?
Grazie per la Vostra pazienza

Ciao!
Hai già appreso che $lim_(xto0)((1+x)^k-1)/x=k$?
Perchè volendo,sulla base di questo limite notevole,potresti risparmiarti tanti conti in futuri casi del genere;
immagina se le radici fossero state cubiche:
che massa di carta avresti dovuto usare?!
Saluti dal web.