Problema sui fasci di circonferenze (Geometria Analitica)
Salve a tutti. Potreste aiutarmi con questo esercizio? Non so come si svolge. Grazie in anticipo.
1)Scrivi l'equazione l'equazione del fascio di circonferenze avente per punti base le intersezioni con gli assi cartesiani della retta parallela alla bisettrice del I e III quadrante e formante un angolo nel IV quadrante di area uguale a 25/2. [x^2+y^2-25+k(x-y-5=0)
In questo punto ho trovato l'asse radicale (x-y-5) ma non so come trovare la circonferenza generatrice. Si deve utilizzare l'asse centrale?
2) Determina l'equazione della circonferenza C1 del fascio passante per il punto A(1;0) [x^2+y^2-6x+6y+5=0) Questo punto l'ho risolto.
3)Scrivi l'equazione del fascio di circonferenze concentriche a C1 e determina la circonferenza C2 del fascio tangente alla retta 2x-3y+11=0 [x^2+y^2-6x+6y+k=0)
4)Calcola l'area della corona circolare individuata dalle due circonferenze C1 e C2. [39PiGreco]
1)Scrivi l'equazione l'equazione del fascio di circonferenze avente per punti base le intersezioni con gli assi cartesiani della retta parallela alla bisettrice del I e III quadrante e formante un angolo nel IV quadrante di area uguale a 25/2. [x^2+y^2-25+k(x-y-5=0)
In questo punto ho trovato l'asse radicale (x-y-5) ma non so come trovare la circonferenza generatrice. Si deve utilizzare l'asse centrale?
2) Determina l'equazione della circonferenza C1 del fascio passante per il punto A(1;0) [x^2+y^2-6x+6y+5=0) Questo punto l'ho risolto.
3)Scrivi l'equazione del fascio di circonferenze concentriche a C1 e determina la circonferenza C2 del fascio tangente alla retta 2x-3y+11=0 [x^2+y^2-6x+6y+k=0)
4)Calcola l'area della corona circolare individuata dalle due circonferenze C1 e C2. [39PiGreco]
Risposte
Ciao Dandelion21,
Innanzitutto ti scrivo l'equazione della circonferenza, che verrà poi usata nei vari punti
Nell'esercizio 1) procedi andando a trovare i punti di intersezione della retta da te trovata ( y = x - 5 ) con gli assi cartesiani. Per fare ciò devi imporre x = 0 e trovare il corrispondente valore di y (intersezione con l'asse y) e successivamente imporre y = 0 e trovare il corrispondente valore di x (intersezione con l'asse x). Otterrai quindi i due punti P1(x1,y1) e P2(x2, y2).
Per trovare il fascio ci circonferenze, con le caratteristiche richieste dall'esercizio, devi imporre il passaggio per i punti P1 e P2 in questo modo:
Risolvendo il sistema ricavi i valori di b e c da sostituire nell'equazione iniziale della circonferenza.
Otterrai l'equazione
3) Il centro del fascio di circonferenze lo ricavi andando a scrivere l'equazione della circonferenza nella forma
L'equazione della circonferenza C1 la puoi riscrivere in questo modo:
Il fascio di circonferenze concentriche sarà quindi
La circonferenza C2 avrà centro C (3, -3) e raggio r =
Il raggio lo trovi calcolando la distanza da un punto ad una retta usando:
a, b,c sono i coefficienti dovuti alla retta data, mentre
L'equazione della circonferenza C2 la lascio scrivere a te!
4) L'area della corona circolare è data da
Innanzitutto ti scrivo l'equazione della circonferenza, che verrà poi usata nei vari punti
[math]x^2 + y^2 + ax + by + c = 0[/math]
Nell'esercizio 1) procedi andando a trovare i punti di intersezione della retta da te trovata ( y = x - 5 ) con gli assi cartesiani. Per fare ciò devi imporre x = 0 e trovare il corrispondente valore di y (intersezione con l'asse y) e successivamente imporre y = 0 e trovare il corrispondente valore di x (intersezione con l'asse x). Otterrai quindi i due punti P1(x1,y1) e P2(x2, y2).
Per trovare il fascio ci circonferenze, con le caratteristiche richieste dall'esercizio, devi imporre il passaggio per i punti P1 e P2 in questo modo:
[math]
\begin{cases}
x1^2 + y1^2 + ax1 + by1 + c = 0\\
x2^2 + y2^2 + ax2 + by2 + c = 0
\end{cases}
[/math]
\begin{cases}
x1^2 + y1^2 + ax1 + by1 + c = 0\\
x2^2 + y2^2 + ax2 + by2 + c = 0
\end{cases}
[/math]
Risolvendo il sistema ricavi i valori di b e c da sostituire nell'equazione iniziale della circonferenza.
Otterrai l'equazione
[math]x^2 + y^2 + a( x - y - 5) - 25 = 0[/math]
3) Il centro del fascio di circonferenze lo ricavi andando a scrivere l'equazione della circonferenza nella forma
[math](x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2[/math]
. Con [math]x_c\; e\; y_c [/math]
coordinate del centro.L'equazione della circonferenza C1 la puoi riscrivere in questo modo:
[math]
x^2+y^2-6x+6y+5=0\\
x^2 - 6x + 9 - 9 + y^2 + 6y + 9 - 9 + 5 = 0\\
(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 13\\
C (3 , -3)
[/math]
x^2+y^2-6x+6y+5=0\\
x^2 - 6x + 9 - 9 + y^2 + 6y + 9 - 9 + 5 = 0\\
(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 13\\
C (3 , -3)
[/math]
Il fascio di circonferenze concentriche sarà quindi
[math]x^2 + y^2 -6x + 6y + 18 - r^2 = 0 \to x^2 + y^2 -6x + 6y + k = 0 [/math]
La circonferenza C2 avrà centro C (3, -3) e raggio r =
[math]\frac{2x_c-3y_c+11}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{26}{13} = 2\sqrt{13}[/math]
.Il raggio lo trovi calcolando la distanza da un punto ad una retta usando:
[math]
\frac{a x_p + b y_p+ c}{\sqrt{a^2 + b^2}}
[/math]
\frac{a x_p + b y_p+ c}{\sqrt{a^2 + b^2}}
[/math]
a, b,c sono i coefficienti dovuti alla retta data, mentre
[math]x_p\; e\; y_p[/math]
sono le coordinate del punto considerato.L'equazione della circonferenza C2 la lascio scrivere a te!
4) L'area della corona circolare è data da
[math]A = \pi (r_{C2}^2 - r_{C1}^2)[/math]
. I calcoli puoi farli da solo ;)
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