Problema su un triangolo

[Vincent2]

Si considerino le seguenti misure

$
a+2x
a-x
2a-x
$
dove $a$ è una lunghezza nota non nulla e x è una incognita.

1)Determinare per quali valori di x le lunghezze sovracitate si possono considerare quelle di un triangolo non degenere.
Per risolvere questo ho utilizzato la proprietà del triangolo sui lati, ossia la somma di due lati è sempre maggiore del terzo, e quindi ho scritto
$a+2x < a-x + 2a-x$
E ho risolto la disequazione ottenendo $0
2)Stabilire se tra i triangoli non degeneri, ce ne sia uno di area massima o minima
E questo non ho capito proprio come farlo, in teoria dovrei provare ogni singolo valore della x, e non riesco a trovare nessuna equazione che mi faccia trovare tale dato.
Ho però, con la formula di erone, trovato la formula dell'area che è
$sqrt(2ax(a+x)(a-2x))$, ma non so come andare avanti

3) Sia ABC il triangolo con le misure precedenti, in particolare $x = a/4$ e sia BC il lato maggiore. Si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su esso un punto D tale ce AD sia lungo a: calcolare un valore approssiato a meno di un grato sessagesimale dell'ampiezza dell'angolo formato dai due piani DBC e ABC
Questo siamo a 0, non so proprio da dove partire.
sono riuscito perl a disegnare una circonferenza goniometrica di raggio A, e nididuato l'anglo, ma non sono riuscoito a trovare nessuna delle sue funzioni goniometriche, con le quali sarei sicuramente riuscito a trovare l'ampiezza di tale angolo.

[codino75]

allora devi solo scrivere l'espressione generica dell'area del triangolo , in cui comparir' sia la x che il parametro g
devi poi derivare questa espressione rispetto a x.
ponndo =0 la derivata ottieni alcuni (1 o piu') i valori di x.
calcolando l'area effettivamente su tali valori trovi quella x che restituisce area massima.

[vampm2006]

"codino75":allora devi solo scrivere l'espressione generica dell'area del triangolo , in cui comparir' sia la x che il parametro g
devi poi derivare questa espressione rispetto a x.
ponndo =0 la derivata ottieni alcuni (1 o piu') i valori di x.
calcolando l'area effettivamente su tali valori trovi quella x che restituisce area massima.

ti ringranzio

[vampm2006]

"codino75":allora devi solo scrivere l'espressione generica dell'area del triangolo , in cui comparir' sia la x che il parametro g
devi poi derivare questa espressione rispetto a x.
ponndo =0 la derivata ottieni alcuni (1 o piu') i valori di x.
calcolando l'area effettivamente su tali valori trovi quella x che restituisce area massima.

per caso mi sai aiutare a risolvere la derivata ho A=(g-x)*radice di x^2-(g-x)^2 tutto fratto 2

[codino75]

non ho letto i calcoli e non sono un esperto, ma mi sembra corretto, completo, efficiente e leggibile, nonche' modulare.

[vampm2006]

"sk0rpio":[quote="mery-napoli"][quote="codino75"]allora devi solo scrivere l'espressione generica dell'area del triangolo , in cui comparir' sia la x che il parametro g
devi poi derivare questa espressione rispetto a x.
ponndo =0 la derivata ottieni alcuni (1 o piu') i valori di x.
calcolando l'area effettivamente su tali valori trovi quella x che restituisce area massima.

per caso mi sai aiutare a risolvere la derivata ho A=(g-x)*radice di x^2-(g-x)^2 tutto fratto 2[/quote]

Spero di non sbagliare e non confonderti le idee, ma a me viene così...

Sappiamo che $2c+b=2g$, dove c=cateti uguali del triangolo isoscele e b è la base.
Dalla precedente troviamo facilmente che $c+b/2=g$ e anche che $c=g-b/2$

L'altezza è uguale, per Pitagora, alla radice quadrata del cateto al quadrato meno metà della base al quadrato, ovvero -->
$h=sqrt(c^2-(b/2)^2)$, da cui $h=sqrt(c^2-(b^2)/4$.
Sotto radice, quindi, troviamo una differenza di quadrati -diciamo $x^2-y^2$- che si può anche scrivere nella forma $(x+y)*(x-y)$
Da ciò deriva che $h=sqrt((c+b/2)*(c-b/2))$.
COme sopra evidenziato $c+b/2=g$ ed essendo anche $c=g-b/2$ possiamo dire che $c-b/2=g-b/2-b/2=g-b$.
Sostituiamo sotto radice ed avremo --> $h=sqrt(g*(g-b))$, cioè $h=sqrt(g^2-g*b)$.

L'area di un triangolo è, ovviamente, $A=b/2*h$, da cui $A=b/2*sqrt(g^2-g*b)$.

Sappiamo che la derivata di una funzione del tipo $A(x)=f(x)*g(x)$ corrisponde ad $A'(x)=f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x)$, ragion per cui la derivata di cui sopra sarà
$A'(x)=1/2*sqrt(g^2-g*b)+b/2*[-g*1/2(g^2-g*b)^-(1/2)]$.
La riscrivo meglio:
$A'(x)=sqrt(g^2-g*b)/2-(b*g)/(4*sqrt(g^2-g*b))$.

Da cui $A'(x)=(2*sqrt(g^2-g*b)*sqrt(g^2-g*b)-b*g)/(4*sqrt(g^2-g*b))$, cioè, ancora, $A'(x)=(2*(g^2-g*b)-b*g)/(4*sqrt(g^2-g*b))$.
Dal momento in cui dobbiamo eguagliare a zero la derivata, possiamo occuparci, finalmente, solo del numeratore, facendo solo attenzione ai punti di non derivabilità, dovendo necessariamente essere $b!=g$ con $b
Il numeratore è uguale a $2*g^2-2*g*b-b*g$, cioè $2*g^2-3*g*b$. Uguagliamolo a zero: $g*(2*g - 3*b)=0$, da cui $2*g = 3*b$, ovvero, infine,
$b=2/3*g$.
Un'osservazione: essendo il perimetro = $2*g$, possiamo dire che $b=1/3$ del perimetro totale; siccome i cateti, per ipotesi, sono uguali tra di loro (triangolo isoscele), la loro somma deve corrispondere ai rimanenti $2/3$ del perimetro, cioè ognuno di loro misura $1/3$ del perimetro totale, proprio come la base che massimizza l'area.
Si conclude che l'area massima è in corrispondenza del triangolo equilatero.
Infine, l'area corrisponderebbe a $A=(2/3*g)/2*sqrt(g^2-g*(2/3*g))$, cioè $A=g/3*sqrt(g^2-2/3*g^2) = g/3*sqrt(1/3*g^2) = g^2/3*sqrt(3)/3 = (g^2*sqrt(3))/9$.

Spero di non aver sbagliato o portato comunque fuori strada, attendo eventuali correzioni di "esperti"

[/quote]


grazie mille sai è per un compito abbiamo avuto la fortuna di averlo avuto in anticipo.........grazie ancora