Problema su triangolo rettangolo e circonferenze

[Cicco2]

Ciao,

ho dei problemi nel risolvere il seguente problema di geometria:

" Sia ABC un triangolo rettangolo in A e siano rispettivamente d e d' i diametri della circonferenza inscritta e di quella circoscritta. Dimostra che AB + AC ≅ d + d'. "

Potreste spiegarmi come procedere?

Grazie

[mgrau]

Il raggio della circonferenza inscritta: d = 2A/P (A area e P perimetro)
il raggio della circonferenza circoscritta: d = BC
Chiamo a e b i cateti e c l'ipotenusa. Dobbiamo dimostrare che $a + b = d + d'$
$a+b = (2ab)/(a+b+c) + c$
$a + b - c = (2ab)/(a+b+c)$
$(a+b-c)(a+b+c) = 2ab$
$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$
$a^2+b^2+2ab -c^2 =2ab$
ma
$a^2+b^2 = c^2$
da cui
$c^2+2ab-c^2 = 2ab$

[@melia]

Anche banalmente il teorema delle Tangenti.
Siamo K, L ed M i punti di tangenza dei lati del triangolo con la circonferenza inscritta. In particolare $AB=AK+BK$, $AC=AL+CL$ e $BC=BM+CM$. Siccome $hat(A)$ è retto il quadrilatero AKO'L è un quadrato, quindi $AK=AL=(d')/2$, allora $AB + AC= AK+BK+AL+CL=(d')/2+BK+(d')/2+CL=2(d')/2+BC= d' + d$ in quanto $BC$ è il diametro della circonferenza circoscritta.