Problema su circonferenza,parabola,ellisse e iperbole
Scusate ragazzi ho questo problema ma non so nemmeno come incominciarlo:
Il triangolo ABC è isoscele sulla base BC e contiene il centro della circonferenza k
circoscritta ad esso. Condotta la retta t tangente a k in C, indicare con D la proiezione
ortogonale di A su t e con E quella di A su BC.
a) Dimostrare che i triangoli ACD e ACE sono congruenti.
b) Ammesso che le misure del raggio della circonferenza k e del segmento AE, rispetto ad
un’assegnata unità di misura, siano $ 5/4 $ e 2, riferire il piano della figura ad un conveniente
sistema di assi cartesiani (Oxy), in modo però che l’asse x sia parallelo alla retta BC.
Trovare:
1. le coordinate dei punti B, C, D;
2. l’equazione della circonferenza k;
3. l’equazione della parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta BC e passante per i
punti B, C, D.
c) Stabilire analiticamente se la circonferenza k e la parabola p hanno altri punti in
comune oltre ai punti B e C
Il triangolo ABC è isoscele sulla base BC e contiene il centro della circonferenza k
circoscritta ad esso. Condotta la retta t tangente a k in C, indicare con D la proiezione
ortogonale di A su t e con E quella di A su BC.
a) Dimostrare che i triangoli ACD e ACE sono congruenti.
b) Ammesso che le misure del raggio della circonferenza k e del segmento AE, rispetto ad
un’assegnata unità di misura, siano $ 5/4 $ e 2, riferire il piano della figura ad un conveniente
sistema di assi cartesiani (Oxy), in modo però che l’asse x sia parallelo alla retta BC.
Trovare:
1. le coordinate dei punti B, C, D;
2. l’equazione della circonferenza k;
3. l’equazione della parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta BC e passante per i
punti B, C, D.
c) Stabilire analiticamente se la circonferenza k e la parabola p hanno altri punti in
comune oltre ai punti B e C
Risposte
Solo qualche suggerimento per iniziare; poi continua da solo.
Per il punto a) nota che $OC,AD$ sono paralleli perché ... e poi confronta gli angoli $EhatOC,EhatAD$ e gli angoli $EhatOC,EhatAC$ (per l'ultimo confronto vedi meglio il problema se prolunghi $AE$ fino ad incontrare la circonferenza); arrivi a dimostrare che $EhatAC=ChatAD$ e concludi con la congruenza fra i triangoli.
Per il punto b) non ti è certo difficile iniziare; fallo e solo allora potrai avere altri suggerimenti.
Per il punto a) nota che $OC,AD$ sono paralleli perché ... e poi confronta gli angoli $EhatOC,EhatAD$ e gli angoli $EhatOC,EhatAC$ (per l'ultimo confronto vedi meglio il problema se prolunghi $AE$ fino ad incontrare la circonferenza); arrivi a dimostrare che $EhatAC=ChatAD$ e concludi con la congruenza fra i triangoli.
Per il punto b) non ti è certo difficile iniziare; fallo e solo allora potrai avere altri suggerimenti.
[geogebra]
è questo il grafico che si ottiene vero?
è questo il grafico che si ottiene vero?
considerando i triangoli ACD e ACE hanno : $ Ahat(E)C=Chat(D)A $ e hanno inoltre il lato $ AC $ in comune...ma poi non ho capito come faccio a proseguire :/
Ti ho già suggerito come proseguire; rileggi il mio ultimo intervento.
Per il grafico non so dirti niente perché il mio computer rifiuta di caricare Java ed anche di eseguirlo per una sola volta.
Per il grafico non so dirti niente perché il mio computer rifiuta di caricare Java ed anche di eseguirlo per una sola volta.
Ciao, scusa non ho avuto il tempo di scriverlo...sono riuscito a dimostrare che i triangoli sono congruenti e sono anche riuscito a calcolare il punto B(-1,-2) e C(1,-2) però adesso non riesco a calcolare il punto D...sapresti aiutarmi?
Dai tuoi numeri deduco che hai fatto coincidere l'origine con $A$; io avrei preferito farla coincidere col centro $O$ della circonferenza oppure con $E$, ma non cambia molto. Per trovare $D$, scrivi l'equazione della tangente $t$ (è la perpendicolare ad $OC$ in $C$) e quella della retta $AD$ (è parallela ad $OC$ oppure, se preferisci, è perpendicolare a $t$): $D$ è la loro intersezione.
si ho preferito farla coincidere con A l'origine poiché il libro portava questi risultati...ma io O e D non li conosco quindi non posso trovare la tangente e la perpendicolare...o sbaglio?
Sai il raggio, quindi trovi subito le coordinate di $O$; ti ho già suggerito uno fra i tanti modi per trovare la tangente e trovi l'equazione di $AD$ imponendo che passi per $A$ e sia parallela ad $OC$ (o che sia perpendicolare a $t$). Trovi ora $D$ come intersezione fra $t$ ed $AD$.
Mi viene un sospetto: hai veramente calcolato le coordinate di $B,C$ o hai solo preso il risultato del libro? Se le hai calcolate, come hai fatto? Guarda che barare non serve per imparare: se non cerchi di capire quello che fai, avrai sempre difficoltà in matematica mentre, al contrario, se lo capisci puoi anche scoprire che è una materia divertente. Noi siamo qui proprio per aiutare gli studenti a capire.
Mi viene un sospetto: hai veramente calcolato le coordinate di $B,C$ o hai solo preso il risultato del libro? Se le hai calcolate, come hai fatto? Guarda che barare non serve per imparare: se non cerchi di capire quello che fai, avrai sempre difficoltà in matematica mentre, al contrario, se lo capisci puoi anche scoprire che è una materia divertente. Noi siamo qui proprio per aiutare gli studenti a capire.
Guarda mi sa che stai fraintendendo. So benissimo che barare non serve e oltretutto non vedo l'utilità in questo caso visto che se non so calcolare quei due punti e affermo il contrario è solo un danno che faccio a me stesso. Comuqnue li ho trovati in questo modo: Conoscendo la E(0, -2) so che A e B hanno ordinata -2. e le ascisse so che hanno segno opposto poichè un punto si trova nel 3 quadrante e uno nel 4 quadrante; inoltre dalle relazioni dell'isometria dei due triangoli so che OE=EC=2; Calcolo la distanza EC che è uguale a 2x quindi 2x=2 => x=1
Tutto bene fino all'ordinata $-2$ ma poi non ti seguo più e direi che sbagli. Nota invece che $AO$ è un raggio ($O$ è il centro). quindi $AO=5/4$. Poi:
$OE=AE-AO=...$
Osservando il triangolo rettangolo $OEC$ e notando che anche $OC$ è un raggio calcoli con Pitagora $EC=...=1$
Comincia a completare al posto dei miei puntini; basandoti su una delle cose che ho detto qui puoi anche scrivere le coordinate di $O$. Col suggerimento che ti ho dato l'altra volta puoi poi trovare $D$.
$OE=AE-AO=...$
Osservando il triangolo rettangolo $OEC$ e notando che anche $OC$ è un raggio calcoli con Pitagora $EC=...=1$
Comincia a completare al posto dei miei puntini; basandoti su una delle cose che ho detto qui puoi anche scrivere le coordinate di $O$. Col suggerimento che ti ho dato l'altra volta puoi poi trovare $D$.
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