Problema su circonferenza

[federicamat]

PROBLEMA CIRCONFERENZA?
mi potete fare questi due problemi
1)dati i punti P(x1,y1) Q(x2,y2) mostrare che la circonferenza di diametro PQ ha equazione :
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0


2) data la circonferenza di equazione:
xalla2+yalla2-8x-4y+10=0
sia D il suo centro. le tangenti condotte dall'origine O toccano la circonferenza i A e B. trovare l'equazione della circonferenza passante per O,A,B dopo aver verificato che ha per diametro OD.


CON AFFETTO GRAZIE MILLE ANTICIPATAMENTE

[BIT5]

1)

Il centro della circonferenza sara' il punto medio di PQ ovvero

[math] x_C= \frac{x_1+x_2}{2} \\ \\ \\ y_C= \frac{y_1+y_2}{2} [/math]

Ricordando che le coordinate del centro della circonferenza sono:

[math] x_C=- \frac{a}{2} \\ \\ y_C=- \frac{b}{2} [/math]

Avremo dunque che

[math]- \frac{a}{2}= \frac{x_1+x_2}{2} \to a=-x_1-x_2 \\ \\ \\ b=-y_1-y_2 [/math]

La circonferenza sara' dunque

[math] x^2+y^2+(-x_1-x_2)x+(-y_1-y_2)y+c=0 [/math]

Il raggio e' la distanza tra i due punti (diametro) fratto due, quindi

[math] r= \frac{\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}{2} [/math]

Ma e' anche

[math] r= \sqrt{x_c^2+y_c^2-c} [/math]

Pertanto uguagliando le due espressioni avremo

[math] \frac{\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}{2}= \sqrt{\(\frac{(x_1+x_2)}{2} \)^2 + \(\frac{y_2+y_1}{2} \)^2 - c } [/math]

Eleviamo ambo i membri al quadrato (quindi la prima frazione sara' /4) e calcoliamo (calcolo anche il minimo comune multiplo (4) a sinistra e a destra e lo semplifico)

[math] x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+y_1^2+y_2^2-2y_1y_2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+y_1^2+y_2^2+2y_1y_2-4c [/math]

Da cui otteniamo

[math] 4c=4x_1x_2+4y_1y_2 [/math]

E dunque

[math] c= x_1x_2+y_1y_2 [/math]

La circonferenza sara' dunque:

[math] x^2+y^2+(-x_1-x_2)x+(-y_1-y_2)y+x_1x_2+y_1y_2=0 [/math]

Moltiplichiamo per x e per y e ordiniamo tutte le x e poi tutte le y

[math] x^2-xx_1-xx_2+x_1x_2+y^2-yy_1-yy_2+y_1y_2=0 [/math]

Ora ti spezzo per farti capire meglio.. consideriamo solo i primi 4 addendi:

[math] x^2-xx_1-xx_2+x_1x_2 [/math]

raccogliamo a fattore parziale, per i primi due la x, per la seconda coppia, raccogliamo

[math] -x_2 [/math]

[math] x(x-x_1)-x_2(x-x_1) [/math]

Ora raccogliamo

[math] (x-x_1) [/math]

E avremo

[math] (x-x_1)(x-x_2) [/math]

Analogamente per y otterremo un prodotto analogo e la circonferenza sara' quella richiesta dalla dimostrazione

Aggiunto 24 minuti più tardi:

Centro: -a/2 -b/2

D(4,2)

[math]r = \sqrt{4^2+2^2 - 10} = \sqrt{10} [/math]

Equazione fascio di rette per un punto:

[math] y-y_0=m(x-x_0) [/math]

E quindi essendo il punto l'origine

mx - y = 0

Calcoliamo le intersezioni generiche delle rette del fascio con la circonferenza:

[math] \{y=mx \\ x^2+y^2-8x-4y+10=0 [/math]

Sostituiamo alla y il valore mx

[math] x^2+m^2x^2-8x-4mx+10=0 [/math]

Raccogliamo secondo le potenze di x (raccolgo, nel caso si x, anche un 2, poi capirai perche')

[math] (1+m^2)x^2+2(-4-2m)x+10=0 [/math]

Questa equazione di secondo grado dara' come risultati le ascisse dei punti di intersezione delle rette del fascio con la circonferenza.

Le rette del fascio secanti intersecheranno la circonferenza in due punti distinti e saranno quelle che, appunto, avranno un valore di m tale da generare un delta positivo nella soluzione dell'equazione e quindi due ascisse distinte.
Le rette del fascio tangenti, invece, avranno quel valore di m tale da rendere nullo il delta e quindi creare due soluzioni coincidenti.

E' proprio quello che ci occorre, pertanto calcoliamo quali valori di m annullano il delta.

siccome l'equazione ha coefficiente di x pari (ho raccolto il 2 apposta) possiamo usare Delta/4

[math] \frac{\Delta}{4} = 0 \to (-4-2m)^2-10(1+m^2)=0 \\ \\ \\ 16+4m^2+16m-10-10m^2=0 \to 6m^2-16m-6=0 \to 3m^2-8m-3=0[/math]

I valori di m che annullano il delta sono le soluzioni dell'equazione, quindi (di nuovo con la ridotta)

[math] m= \frac{4 \pm \sqrt{16+9}}{3}= \frac{4 \pm 5}{3} [/math]

E dunque

[math] m_1=3 \to y=3x \\ \\ \\ m_2=- \frac13 \to y=- \frac13x [/math]

(Le due rette sono perpendicolari, oltretutto)

Altro metodo:

Selezioniamo quelle due rette del fascio aventi distanza da D pari al raggio:

[math] \frac{| 4m - 2 |}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{10} [/math]

Determini poi i punti di contatto delle tangenti con la circonferenza. Basta risolvere il sistema fra equazione circonferenza e equazione retta:

Troverai i punti

A(3;-1)


B(1,3).

Nel cercare l'equazione della circonferenza passante per OAB, ricordiamoci che OA e OB appartengono a due rette perpendicolari e per un teorema della circonferenza ogni suo angolo alla circonferenza retto deve sottendere un diametro. Nel nostro caso tale diametro deve essere AB.
Ma anche OD è diametro: infatti la tangente OB deve essere perpendicolare al raggio nel punto di tangenza, cioè alla retta BD e quindi OB^D è retto; per lo stesso motivo OA^D è anch'esso retto; questi due angoli retti sottendono contemporaneamente lo stesso diametro OD.

A questo punto dunque puoi trovare la circonferenza in piu' modi..

Conosci il raggio (meta' della distanza AB o OD)
Conosci il centro (punto medio)
conosci 3 punti per i quali passa la circonferenza.

hai un sacco di dati

Siccome i parametri della circonferenza sono 3, imposti un sistema a tre equazioni (usando 3 di queste informazioni) e sei a posto :)