Problema su circonferenza?
Buonasera a tutti, sto facendo parecchia fatica a svolgere un problema sulla circonferenza (so che sono cavolate; non linciatemi però per favore, sono del linguistico xD).
In allegato trovate come ho iniziato a risolverlo; vorrei chiedervi se, in primis, il mio procedimento sia corretto e, secondariamente, come potrei continuare. Grazie mille!
P.S. Il problema originariamente, come potete vedere, verte sull'iperbole; solo che la mia prof ha aggiunto un'altra consegna sulla circonferenza. Forse a causa di questo, non saprei determinare il raggio, il che mi impedisce di proseguire.
In allegato trovate come ho iniziato a risolverlo; vorrei chiedervi se, in primis, il mio procedimento sia corretto e, secondariamente, come potrei continuare. Grazie mille!
P.S. Il problema originariamente, come potete vedere, verte sull'iperbole; solo che la mia prof ha aggiunto un'altra consegna sulla circonferenza. Forse a causa di questo, non saprei determinare il raggio, il che mi impedisce di proseguire.
Risposte
Ciao Ema2003 !
innanzitutto, ci mancherebbe che qualcuno venga a "linciarti" perché non sai risolvere un problema ! Tutti quelli che sono su questo forum sono qui per aiutare ed essere aiutati
. Nessuno "nasce imparato" 
.
Detto questo veniamo al tuo problema. Con il sistema di riferimento della tua figura e con i dati del tuo problema sulla circonferenza, hai fatto tutto bene e tutto ciò che era in tuo potere fare; detto in altre parole, il raggio doveva dartelo la professoressa, ma, secondo me (e qualcuno mi corregga se sbaglio), si è dimenticata di scriverlo
. Con i dati in tuo possesso non puoi andare oltre ciò che hai fatto. Anche dopo la professoressa scrive "le rette...passantE", confondendo la "e" con una "i", il che mi fa propendere per il fatto che andasse di fretta o fosse distratta e si è dimenticata di darvi un dato indispensabile per risolvere il problema e cioè il raggio, a meno che non sottintendesse uno dei raggi presenti in figura, ad esempio il raggio della base della torre, cioè $4sqrt(2)$, ma sono solo ipotesi e non possiamo esserne certi. Per cui l'unica mi sembra farlo presente alla professoressa.
Se ti interessa la seconda parte del problema, cioè ricavare le rette tangenti, basta dirlo e ci inventiamo un raggio per poterla svolgere
Saluti
"Ema2003":
(so che sono cavolate; non linciatemi però per favore, sono del linguistico xD).
innanzitutto, ci mancherebbe che qualcuno venga a "linciarti" perché non sai risolvere un problema ! Tutti quelli che sono su questo forum sono qui per aiutare ed essere aiutati
. Nessuno "nasce imparato" .Detto questo veniamo al tuo problema. Con il sistema di riferimento della tua figura e con i dati del tuo problema sulla circonferenza, hai fatto tutto bene e tutto ciò che era in tuo potere fare; detto in altre parole, il raggio doveva dartelo la professoressa, ma, secondo me (e qualcuno mi corregga se sbaglio), si è dimenticata di scriverlo
. Con i dati in tuo possesso non puoi andare oltre ciò che hai fatto. Anche dopo la professoressa scrive "le rette...passantE", confondendo la "e" con una "i", il che mi fa propendere per il fatto che andasse di fretta o fosse distratta e si è dimenticata di darvi un dato indispensabile per risolvere il problema e cioè il raggio, a meno che non sottintendesse uno dei raggi presenti in figura, ad esempio il raggio della base della torre, cioè $4sqrt(2)$, ma sono solo ipotesi e non possiamo esserne certi. Per cui l'unica mi sembra farlo presente alla professoressa. Se ti interessa la seconda parte del problema, cioè ricavare le rette tangenti, basta dirlo e ci inventiamo un raggio per poterla svolgere
Saluti
Ciao, grazie infinite! Ho chiesto alla prof ed attendo una sua risposta; non appena mi fa sapere qualcosa, avviso subito! Grazie mille nuovamente e buona serata!
Piccolo aggiornamento: mi ha confermato che il raggio è 4 radice di 2; tuttavia, non saprei comunque proseguire onestamente. Dopo aver trovato il raggio, come potrei trovare le rette tangenti?
Potresti usare la distanza del centro C dal fascio di rette per P e porlo uguale al raggio. Ci sono anche altri due modi, ma questo è quello meno “calcoloso”.
"@melia":
Potresti usare la distanza del centro C dal fascio di rette per P e porlo uguale al raggio. Ci sono anche altri due modi, ma questo è quello meno “calcoloso”.
Scusami, ma la prof stessa mi ha detto di usare 4 radice di 2 quindi mi oriento su quello. Il problema è come continuare; io pensavo di fare un sistema tra l'equazione della circonferenza e di una retta, però temo sia errato. Qualcuno saprebbe darmi conferma?
Quello che hai detto è uno degli altri due metodi che esistono, è un po' pieno di calcoli, ma è corretto.
"@melia":
Quello che hai detto è uno degli altri due metodi che esistono, è un po' pieno di calcoli, ma è corretto.
Ciao, allora, io ho proseguito nella risoluzione, ma ho due problemi: in primo luogo, non so se sia giusto ciò che ho fatto; in secondo luogo, ammesso e non concesso che i miei passaggi siano corretti, non saprei come andare avanti a causa di quel radicale che mi esce. Sapreste darmi una mano? Grazie mille! Buona domenica
Rieccomi @Ema2003 e ciao anche @melia !
Allora, i calcoli che hai fatto mi sembrano corretti. Sei in dirittura d'arrivo, mancano davvero pochissimi passaggi. Trovate le due intercetta "q", sai che $m=-q/8$, per cui, sostituendo le due "q" trovate, trovi i due coefficienti angolari delle due rette. Purtroppo i radicali te li devi portare appresso; è quello che succede quando in un esercizio si assegnano valori a caso: verranno numeri "strani".
Ad ogni modo ti consiglio vivamente di considerare il metodo proposto da melia in quanto più veloce e con meno calcoli, come già suggerito. Nonostante tu sia decisamente brava/o (perdonami ma non so se tu sia una ragazza o un ragazzo, anche se dalla tua scrittura elegante propendo per la ragazza ) nei calcoli, ricordati che meno calcoli=meno possibilità di errori di distrazione, etc...
Veniamo al dunque. Andiamo a scrivere la generica retta passante per il punto $P(8,0)$ (fascio di rette): $y=m(x-8)$. A questo punto la scriviamo in forma implicita $mx-y-8m=0$ e calcoliamo la distanza tra centro della circonferenza $C(0,-76)$ e fascio di rette: $d=abs(76-8m)/sqrt(m^2+1)$ ed imponiamo che questa distanza sia pari al raggio (condizione di tangenza): $abs(76-8m)/sqrt(m^2+1)=4sqrt(2)$. Eseguiamo i calcoli elevando ambo i membri al quadrato (essendo entrambi non negativi) ottenendo $(76-8m)^2=(m^2+1)*32$ e, svolgendo i calcoli e semplificando si arriva a $2m^2-76m+359=0$ che restituisce i due valori di "m": $m=(38+-11sqrt(6))/2$. Abbiamo finito; sostituiamo le due m appena trovate nel fascio scritto prima ed abbiamo trovato le due rette (senza neanche dover cercare q).
Come puoi notare è decisamente il metodo più rapido per risolvere questo tipo di problema. Ti faccio anche notare un'altra cosa che, a volte, viene trascurata dagli studenti. E qui prego qualcuno più esperto di confermare quanto sto per dire, onde evitare di dare informazioni fuorvianti: una circonferenza ammette SEMPRE due rette tangenti passanti per uno stesso punto esterno ad essa, una sola tangente passante per un punto SULLA circonferenza o nessuna tangente passante per un punto INTERNO alla circonferenza. Ti dico questo perché, in questo caso, essendo il punto esterno alla circonferenza, se avessimo trovato una sola m, voleva dire che l'altra retta tangente sarebbe stata una retta parallela all'asse y (che infatti non ammette coefficiente angolare, oppure, come si dice, ha $m=infty$) e, dunque, avremmo dovuto scriverla anche se non trovata (in quanto il fascio di rette scritto in quella forma esclude le rette parallele all'asse y).
Scusa se mi sono dilungato e, se hai altri dubbi, non esitare a chiedere
Saluti
Allora, i calcoli che hai fatto mi sembrano corretti. Sei in dirittura d'arrivo, mancano davvero pochissimi passaggi. Trovate le due intercetta "q", sai che $m=-q/8$, per cui, sostituendo le due "q" trovate, trovi i due coefficienti angolari delle due rette. Purtroppo i radicali te li devi portare appresso; è quello che succede quando in un esercizio si assegnano valori a caso: verranno numeri "strani".
Ad ogni modo ti consiglio vivamente di considerare il metodo proposto da melia in quanto più veloce e con meno calcoli, come già suggerito. Nonostante tu sia decisamente brava/o (perdonami ma non so se tu sia una ragazza o un ragazzo, anche se dalla tua scrittura elegante propendo per la ragazza
) nei calcoli, ricordati che meno calcoli=meno possibilità di errori di distrazione, etc...Veniamo al dunque. Andiamo a scrivere la generica retta passante per il punto $P(8,0)$ (fascio di rette): $y=m(x-8)$. A questo punto la scriviamo in forma implicita $mx-y-8m=0$ e calcoliamo la distanza tra centro della circonferenza $C(0,-76)$ e fascio di rette: $d=abs(76-8m)/sqrt(m^2+1)$ ed imponiamo che questa distanza sia pari al raggio (condizione di tangenza): $abs(76-8m)/sqrt(m^2+1)=4sqrt(2)$. Eseguiamo i calcoli elevando ambo i membri al quadrato (essendo entrambi non negativi) ottenendo $(76-8m)^2=(m^2+1)*32$ e, svolgendo i calcoli e semplificando si arriva a $2m^2-76m+359=0$ che restituisce i due valori di "m": $m=(38+-11sqrt(6))/2$. Abbiamo finito; sostituiamo le due m appena trovate nel fascio scritto prima ed abbiamo trovato le due rette (senza neanche dover cercare q).
Come puoi notare è decisamente il metodo più rapido per risolvere questo tipo di problema. Ti faccio anche notare un'altra cosa che, a volte, viene trascurata dagli studenti. E qui prego qualcuno più esperto di confermare quanto sto per dire, onde evitare di dare informazioni fuorvianti: una circonferenza ammette SEMPRE due rette tangenti passanti per uno stesso punto esterno ad essa, una sola tangente passante per un punto SULLA circonferenza o nessuna tangente passante per un punto INTERNO alla circonferenza. Ti dico questo perché, in questo caso, essendo il punto esterno alla circonferenza, se avessimo trovato una sola m, voleva dire che l'altra retta tangente sarebbe stata una retta parallela all'asse y (che infatti non ammette coefficiente angolare, oppure, come si dice, ha $m=infty$) e, dunque, avremmo dovuto scriverla anche se non trovata (in quanto il fascio di rette scritto in quella forma esclude le rette parallele all'asse y).
Scusa se mi sono dilungato e, se hai altri dubbi, non esitare a chiedere
Saluti
"BayMax":
Rieccomi @Ema2003 e ciao anche @melia !
Allora, i calcoli che hai fatto mi sembrano corretti. Sei in dirittura d'arrivo, mancano davvero pochissimi passaggi. Trovate le due intercetta "q", sai che $m=-q/8$, per cui, sostituendo le due "q" trovate, trovi i due coefficienti angolari delle due rette. Purtroppo i radicali te li devi portare appresso; è quello che succede quando in un esercizio si assegnano valori a caso: verranno numeri "strani".
Ad ogni modo ti consiglio vivamente di considerare il metodo proposto da melia in quanto più veloce e con meno calcoli, come già suggerito. Nonostante tu sia decisamente brava/o (perdonami ma non so se tu sia una ragazza o un ragazzo, anche se dalla tua scrittura elegante propendo per la ragazza
Veniamo al dunque. Andiamo a scrivere la generica retta passante per il punto $P(8,0)$ (fascio di rette): $y=m(x-8)$. A questo punto la scriviamo in forma implicita $mx-y-8m=0$ e calcoliamo la distanza tra centro della circonferenza $C(0,-76)$ e fascio di rette: $d=abs(76-8m)/sqrt(m^2+1)$ ed imponiamo che questa distanza sia pari al raggio (condizione di tangenza): $abs(76-8m)/sqrt(m^2+1)=4sqrt(2)$. Eseguiamo i calcoli elevando ambo i membri al quadrato (essendo entrambi non negativi) ottenendo $(76-8m)^2=(m^2+1)*32$ e, svolgendo i calcoli e semplificando si arriva a $2m^2-76m+359=0$ che restituisce i due valori di "m": $m=(38+-11sqrt(6))/2$. Abbiamo finito; sostituiamo le due m appena trovate nel fascio scritto prima ed abbiamo trovato le due rette (senza neanche dover cercare q).
Come puoi notare è decisamente il metodo più rapido per risolvere questo tipo di problema. Ti faccio anche notare un'altra cosa che, a volte, viene trascurata dagli studenti. E qui prego qualcuno più esperto di confermare quanto sto per dire, onde evitare di dare informazioni fuorvianti: una circonferenza ammette SEMPRE due rette tangenti passanti per uno stesso punto esterno ad essa, una sola tangente passante per un punto SULLA circonferenza o nessuna tangente passante per un punto INTERNO alla circonferenza. Ti dico questo perché, in questo caso, essendo il punto esterno alla circonferenza, se avessimo trovato una sola m, voleva dire che l'altra retta tangente sarebbe stata una retta parallela all'asse y (che infatti non ammette coefficiente angolare, oppure, come si dice, ha $m=infty$) e, dunque, avremmo dovuto scriverla anche se non trovata (in quanto il fascio di rette scritto in quella forma esclude le rette parallele all'asse y).
Scusa se mi sono dilungato e, se hai altri dubbi, non esitare a chiedere
Saluti
Ciao, grazie infinite! Ti chiedo davvero davvero scusa, solo che l'ho rifatto da capo usando altre formule. Ora però non so come uscirne; allego foto. Scusami se ti ho fatto perdere tempo! Solo che con quella formula mi sembrava troppo troppo lungo. Buona giornata!
"Ema2003":
[quote="BayMax"]Rieccomi @Ema2003 e ciao anche @melia !
Allora, i calcoli che hai fatto mi sembrano corretti. Sei in dirittura d'arrivo, mancano davvero pochissimi passaggi. Trovate le due intercetta "q", sai che $m=-q/8$, per cui, sostituendo le due "q" trovate, trovi i due coefficienti angolari delle due rette. Purtroppo i radicali te li devi portare appresso; è quello che succede quando in un esercizio si assegnano valori a caso: verranno numeri "strani".
Ad ogni modo ti consiglio vivamente di considerare il metodo proposto da melia in quanto più veloce e con meno calcoli, come già suggerito. Nonostante tu sia decisamente brava/o (perdonami ma non so se tu sia una ragazza o un ragazzo, anche se dalla tua scrittura elegante propendo per la ragazza
Veniamo al dunque. Andiamo a scrivere la generica retta passante per il punto $P(8,0)$ (fascio di rette): $y=m(x-8)$. A questo punto la scriviamo in forma implicita $mx-y-8m=0$ e calcoliamo la distanza tra centro della circonferenza $C(0,-76)$ e fascio di rette: $d=abs(76-8m)/sqrt(m^2+1)$ ed imponiamo che questa distanza sia pari al raggio (condizione di tangenza): $abs(76-8m)/sqrt(m^2+1)=4sqrt(2)$. Eseguiamo i calcoli elevando ambo i membri al quadrato (essendo entrambi non negativi) ottenendo $(76-8m)^2=(m^2+1)*32$ e, svolgendo i calcoli e semplificando si arriva a $2m^2-76m+359=0$ che restituisce i due valori di "m": $m=(38+-11sqrt(6))/2$. Abbiamo finito; sostituiamo le due m appena trovate nel fascio scritto prima ed abbiamo trovato le due rette (senza neanche dover cercare q).
Come puoi notare è decisamente il metodo più rapido per risolvere questo tipo di problema. Ti faccio anche notare un'altra cosa che, a volte, viene trascurata dagli studenti. E qui prego qualcuno più esperto di confermare quanto sto per dire, onde evitare di dare informazioni fuorvianti: una circonferenza ammette SEMPRE due rette tangenti passanti per uno stesso punto esterno ad essa, una sola tangente passante per un punto SULLA circonferenza o nessuna tangente passante per un punto INTERNO alla circonferenza. Ti dico questo perché, in questo caso, essendo il punto esterno alla circonferenza, se avessimo trovato una sola m, voleva dire che l'altra retta tangente sarebbe stata una retta parallela all'asse y (che infatti non ammette coefficiente angolare, oppure, come si dice, ha $m=infty$) e, dunque, avremmo dovuto scriverla anche se non trovata (in quanto il fascio di rette scritto in quella forma esclude le rette parallele all'asse y).
Scusa se mi sono dilungato e, se hai altri dubbi, non esitare a chiedere
Saluti
Ciao, grazie infinite! Ti chiedo davvero davvero scusa, solo che l'ho rifatto da capo usando altre formule. Ora però non so come uscirne; allego foto. Scusami se ti ho fatto perdere tempo! Solo che con quella formula mi sembrava troppo troppo lungo. Buona giornata!
[/quote]Scusami di nuovo; intendo che non so come uscirne a causa di quelle m. Inoltre, onestamente non mi sembra neppure che P appartenga alla circonferenza...
"Ema2003":
Scusami se ti ho fatto perdere tempo!
Ma figurati ! A costo di sembrare folle ti dico che mi diverto a risolvere questo tipo di esercizi
.Ad ogni modo, quello che hai scritto è proprio la dimostrazione di quanto ti dicevo prima: più calcoli=più possibilità di errori.
Ti sei dimenticata un segno "-" nella "b". Mettendolo alla fine, come vedi, i termini al cubo si semplificano ed arrivi ad un'equazione di secondo grado, come deve essere, in quanto ci aspettiamo due soluzioni (due coefficienti angolari). Se proprio hai deciso di non usare il metodo della distanza e vuoi usare il metodo del sistema e del delta, allora prediligi la ricerca della "m" cioè quest'ultimo metodo che hai usato, senza passare per la q, almeno è un pizzico più rapido (non ti serve trovare la q, perché, trovata la m, la metti nel fascio e hai finito).
"Ema2003":
Inoltre, onestamente non mi sembra neppure che P appartenga alla circonferenza...
Si, in questo caso hai ragione. Io l'ho specificato per altri casi che potresti trovare. Magari trovi una sola m e ti scordi di scrivere la retta tangente parallela all'asse y. Sicuramente non è il tuo caso, perché vedo che sei brava e preparata, ma dato che alcuni ragazzi lo dimenticano, ho tenuto a precisarlo
"BayMax":
[quote="Ema2003"]Scusami se ti ho fatto perdere tempo!
Ma figurati ! A costo di sembrare folle ti dico che mi diverto a risolvere questo tipo di esercizi
.Ad ogni modo, quello che hai scritto è proprio la dimostrazione di quanto ti dicevo prima: più calcoli=più possibilità di errori.
Ti sei dimenticata un segno "-" nella "b". Mettendolo alla fine, come vedi, i termini al cubo si semplificano ed arrivi ad un'equazione di secondo grado, come deve essere, in quanto ci aspettiamo due soluzioni (due coefficienti angolari). Se proprio hai deciso di non usare il metodo della distanza e vuoi usare il metodo del sistema e del delta, allora prediligi la ricerca della "m" cioè quest'ultimo metodo che hai usato, senza passare per la q, almeno è un pizzico più rapido (non ti serve trovare la q, perché, trovata la m, la metti nel fascio e hai finito).
"Ema2003":
Inoltre, onestamente non mi sembra neppure che P appartenga alla circonferenza...
Si, in questo caso hai ragione. Io l'ho specificato per altri casi che potresti trovare. Magari trovi una sola m e ti scordi di scrivere la retta tangente parallela all'asse y. Sicuramente non è il tuo caso, perché vedo che sei brava e preparata, ma dato che alcuni ragazzi lo dimenticano, ho tenuto a precisarlo
[/quote]Ciao, sono andata avanti ma non so come proseguire. Mi sta dando gli incubi sto problema. E' dalle 7,30 che sono in ballo; non so però come proseguire. Che dovrei farci con quel radicale?
Hai finito. Se hai letto il mio messaggio, hai trovato la mia stessa soluzione. Al massimo puoi fattorizzare il radicando e scrivere quella radice come $11sqrt(6)$. Hai trovato due coefficienti angolari (uno col + al numeratore e l'altro col -). Metti queste due m, una alla volta, nel tuo fascio di rette $y=m(x-8)$ e hai trovato le due rette tangenti.
"BayMax":
Hai finito. Se hai letto il mio messaggio, hai trovato la mia stessa soluzione. Al massimo puoi fattorizzare il radicando e scrivere quella radice come $11sqrt(6)$. Hai trovato due coefficienti angolari (uno col + al numeratore e l'altro col -). Metti queste due m, una alla volta, nel tuo fascio di rette $y=m(x-8)$ e hai trovato le due rette tangenti.
Ti ringrazio infinitamente! Sicché, una volta inserite le m nel fascio, ho davvero terminato tutto? Null'altro da fare? Scusami, ma questo problema mi ha reso paranoica xD
"BayMax":
Hai finito. Se hai letto il mio messaggio, hai trovato la mia stessa soluzione. Al massimo puoi fattorizzare il radicando e scrivere quella radice come $11sqrt(6)$. Hai trovato due coefficienti angolari (uno col + al numeratore e l'altro col -). Metti queste due m, una alla volta, nel tuo fascio di rette $y=m(x-8)$ e hai trovato le due rette tangenti.
Scusami, due domande: anzitutto, è corretto? Secondariamente, se ciò è corretto, si conclude così il problema?
Si, è corretto e concluso. Hai trovato le equazioni delle due rette tangenti come richiesto.
"BayMax":
Si, è corretto e concluso. Hai trovato le equazioni delle due rette tangenti come richiesto.
Ah, ok, grazie infinite! Più che altro pensavo che dovessi sviluppare ancora i calcoli e che dovesse venirmi una sola equazione; nondimeno, se mi dici così, mi fido! Anche perché questo problema mi ha esasperato terribilmente e sono più che contenta di non averci più a che fare xD
Come ti dicevo, da un punto esterno ad una circonferenza partono sempre due rette tangenti. Ad ogni retta corrisponde un'equazione. Due rette=due equazioni. Non puoi averne solo una.
"BayMax":
Come ti dicevo, da un punto esterno ad una circonferenza partono sempre due rette tangenti. Ad ogni retta corrisponde un'equazione. Due rette=due equazioni. Non puoi averne solo una.
Grazie davvero! Veramente, accetta i miei più sinceri ringraziamenti per il tuo aiuto e per la tua pazienza, nonché per la tua disponibilità. Ti auguro un sereno proseguimento di giornata!
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