Problema su calcolo di due limiti

[gico78]

Salve a tutti,ho questi due dubbi:
Il primo con la funzione:
$x - sqrt (x^2-1)$
di cui devo ricercare gli asintoti obliqui. Come da immagine allegata, y=2x è asintoto obliquo.
Dunque dovrei ottenere che:

$lim_(x->\infty) (x - sqrt (x^2-1))/x = 2$

In questo caso lo calcolo per meno infinito,visto che si ha:

$lim_(x->-\infty) (x - sqrt (x^2-1)) = -\infty$

Però posso risolvere il limite con i seguenti passaggi:

$lim_(x->\infty) (x - x*sqrt (1-1/x^2))/x $

$lim_(x->\infty) x * (1 - sqrt (1-1/x^2))/x $

$lim_(x->\infty) 1 - sqrt (1-1/x^2) $

$lim_(x->\infty) 1 - sqrt (1-0) $

$lim_(x->\infty) (1 - 1)=0 $

Risulta m=0,ovvero l'asintoto orizzontale x=0.
Non capisco come ottenere l'altro valore...
L'altra domanda: esiste questo limite?
$lim_(x->0) tg(1/x) $

Grazie a chi avrà la pazienza di rispondermi.

[Seneca1]

$sqrt( x^2 ) = | x |$