Problema studio di funzione II

[luigirussofacebook]

non so come impostarlo..
In un riferimento cartesiano Oxy sono assegnate le curve di equazione:
$y=(k-1)x^3+(k+3)x^2+(k-2)x+1$ con k appartenente a $R -[1]$

A) dimostra che le curve hanno in comune un punto e uno soltanto
B) determina per quali valori di k le curve sono funzioni biettive
C) dimostra che la curva γ avente k=0 interseca soltanto una volta l'asse delle ascisse e ha un centro di simmetria; scrivi quindi l'equazione di γ nel riferimento traslato con origine in tale punto
D) disegna il grafico di γ

RISULTATI A) (0,1)
B) $k<=15-sqrt(249)/4 V k>15+sqrt(249)/4$
C)x0 appartentente a $]2,3[, C(1,1), y=-x^3+x$

[igiul1]

a) Assegna a k due valori arbitrari ed interseca le funzioni ottenute;
b) in una funzione bietttiva ad ogni x corrisponde una sola y e viceversa. Di conseguenza la funzione è sempre crescente o sempre decrescente. Calcola la derivata ed imponi la condizione;
c) trovata l'equazione della curva calcola crescenza, decrescenza ed ordinata di max e minimi. Il centro di simmetria sarà il punto di flesso (come dimostrarlo al momento non saprei spiegartelo). Ricorda le equazioni della traslazione ed applicale;
d) potresti disegnarla facilmente con gli elementi già trovati.

[@melia]

Relativamente alla prima domanda preferisco questa soluzione:
Risolvo come se si trattasse di un'equazione in $k$ ottenendo $k(x^3+x^2+x)=x^3-3x^2+2x-1+y$
L'equazione trovata è di primo grado nell'incognita $k$, quindi è indeterminata solo se i coefficienti si annullano contemporaneamente, da cui
$\{(x^3+x^2+x=0),(x^3-3x^2+2x-1+y=0):}$
in questo modo sono certa che la soluzione $(0, 1)$ non dipenda dai particolari valori di $k$ considerati.