Problema simulazione maturità
Stavo risolvendo questo problema: fissati due parametri reali $k>0$,$S>0$,considera la funzione: $f_k(x)=S/(1+e^(-kx))$ il cui grafico viene indicato con $Gamma_k$. La funzione $f_k(x)$ può essere adoperata per studiare la possibile evoluzione nel tempo di una popolazione che abbia capacità di riprodursi, nell’ipotesi in cui la limitatezza delle risorse disponibili causi l’esistenza di una “soglia di sostenibilità” al di sotto dellaquale la popolazione è costretta a mantenersi.
Dimostra che i valori assunti dalla funzione $f_k(x)$ si mantengono all’interno dell’intervallo aperto delimitato inferiormente dal valore $0$ e superiormente dal valore $S$, dove quest’ultimo rappresenta tale soglia di sostenibilità.
Osservando $Gamma_k$,individua la trasformazione geometrica da applicare a $Gamma_k$ per farlo diventare il grafico di una funzione dispari, e determina l’espressione analitica di tale funzione.
Individuagraficamente o analiticamente il valore della xcorrispondente alla massima velocità di crescita di una popolazione secondo il modello rappresentato dalla funzione $f_k(x)$ ; determina quindi, in funzione dei parametri Se $k$, il valore di tale velocità massima.
L'unica difficoltà che ho trovato è calcolare il massimo di questa funzione. Ho ricavato la derivata prima:
$f'_k(x)=(kSe^(-kx))/(1+e^(-kx))^2$. Ma questa non si annulla mai. Quindi non c'è massimo?
Potreste aiutarmi su questo punto per favore?
Dimostra che i valori assunti dalla funzione $f_k(x)$ si mantengono all’interno dell’intervallo aperto delimitato inferiormente dal valore $0$ e superiormente dal valore $S$, dove quest’ultimo rappresenta tale soglia di sostenibilità.
Osservando $Gamma_k$,individua la trasformazione geometrica da applicare a $Gamma_k$ per farlo diventare il grafico di una funzione dispari, e determina l’espressione analitica di tale funzione.
Individuagraficamente o analiticamente il valore della xcorrispondente alla massima velocità di crescita di una popolazione secondo il modello rappresentato dalla funzione $f_k(x)$ ; determina quindi, in funzione dei parametri Se $k$, il valore di tale velocità massima.
L'unica difficoltà che ho trovato è calcolare il massimo di questa funzione. Ho ricavato la derivata prima:
$f'_k(x)=(kSe^(-kx))/(1+e^(-kx))^2$. Ma questa non si annulla mai. Quindi non c'è massimo?
Potreste aiutarmi su questo punto per favore?
Risposte
Ciao.
Se parla di velocità di crescita, il massimo da trovare non è quello della funzione, ma quello derivata. In poche parole, trova la derivata seconda!
Se parla di velocità di crescita, il massimo da trovare non è quello della funzione, ma quello derivata. In poche parole, trova la derivata seconda!
Ah ecco. Allora la derivata seconda è: $((-kSe^(-kx))(k+2ke^(-kx)))/(1+e^(-kx))^3$. Ma anche questa non si annulla mai.
Non so se ho sbagliato io a fare i conti, ma mi pare che non venga così. Ricontrolla. Al numeratore, facendo un calcolo frettoloso, ho ottenuto $S k^2 e^ (-kx) (e^ (-kx) -1)$
Edito. Ho modificato i segni come annunciato, ma non scrivo il denominatore, perché non riesco a selezionare per fare copia-incolla. Ci aggiorniamo.
Edito. Ho modificato i segni come annunciato, ma non scrivo il denominatore, perché non riesco a selezionare per fare copia-incolla. Ci aggiorniamo.
Poi ho semplificato.
Dovrebbe essere sbagliato il segno del mio numeratore, ma rimangono opposti. Ora correggo, e magari scrivo anche il denominatore.
Riprendo. O tratti il denominatore come quadrato, o come funzione di funzione (è più semplice così per mettere in evidenza e semplificare), dovresti comunque ottenere termini con $e^(-kx)$ e termini con il quadrato dello stesso "monomio".
In realtà li hai ottenuti anche tu, ma sono diversi i coefficienti. Ricontrolla, ed eventualmente posta i passaggi.
Riprendo. O tratti il denominatore come quadrato, o come funzione di funzione (è più semplice così per mettere in evidenza e semplificare), dovresti comunque ottenere termini con $e^(-kx)$ e termini con il quadrato dello stesso "monomio".
In realtà li hai ottenuti anche tu, ma sono diversi i coefficienti. Ricontrolla, ed eventualmente posta i passaggi.
Si chiama equazione logistica ed è estremamente importante. La ritroverai anche negli esercizi sulle equazioni differenziali e in statistica.
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_logistica
Fossi in te, le dedicherei un po' di tempo e la studierei per bene.
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_logistica
Fossi in te, le dedicherei un po' di tempo e la studierei per bene.
Ora dovrebbe essere corretto: $y''=(k^2e^(-2kx)S(-e^(kx)+1))/(1+e^(-kx))^3$
"Bokonon":
Si chiama equazione logistica ed è estremamente importante. La ritroverai anche negli esercizi sulle equazioni differenziali e in statistica.
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_logistica
Fossi in te, le dedicherei un po' di tempo e la studierei per bene.
Non lo sapevo sinceramente. Mi stavo solo esercitando sui problemi proposti nelle simulazioni per la maturità di quest'anno.
@Zfres Ti credo...da qua il suggerimento. Ho notato che la inseriscono relativamente spesso all'esame di maturità. Non è davvero una cattiva idea spenderci qualche ora su.
Certamente. Ma il mio problema permane: quella derivata non si annulla.
"ZfreS":
Ora dovrebbe essere corretto: $y''=(k^2e^(-2kx)S(-e^(kx)+1))/(1+e^(-kx))^3$
$y''=(k^2e^(-kx)S(1-e^(kx)))/(1+e^(-kx))^3=kf^{\prime}(x)(1-2/(1+e^(-kx)))$
Si vede ad occhio che si annulla solo per $x=0$
E avresti anche potuto almeno sfogliare la pagina di wiki https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione ... i_funzione
Se x è il tempo, $f(0)=S/2$ poi cresce tendendo a $y=S$
Ok, grazie Bokonon!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo