Problema seuccessioni!!!!HELP

[IlaCrazy]

Questo problema mi sembra interessante,ma anke difficile!! Potreste aiutarmi a risolverlo??

In un cerchio di raggio R è inscritto un quadrato. Nella lunula (= parte di circonferenza compresa 1 lato del quadrato e l'arco da esso determinato) inferiore,inscrivere una circonferenza e al suo interno un quadrato...ripetere il procedimento per $n$ volte....
- esprimere la successione dei raggi degli $n$ cerchi?
-quante volte è necessario ripetere il procedimento per avere un cerchio il cui raggio sia almeno UN MILIONE di volte più piccolo del raggio R iniziale????

Ho provato a impostarlo,ma nn sono molto sicura.......
Grazie a tutti!!!!

[elgiovo]

Guarda cosa succede a R dopo i primi due passaggi, poi continuerà tutto nella stessa maniera. Se la circonferenza ha raggio $R$, il quadrato iscritto avrà diagonale $2R$ e quindi il suo lato sarà $l=(2R)/sqrt2$. Quindi il raggio della circonferenza nella lunula sarà $(R-l/2)/2$ e così via.

[IlaCrazy]

scusa ma potresti spiegarmi con ke passaggi l'hai risolto??
e alla domanda 2 cm rispondo??
grazie infinite risp presto pleaseeeeeeeee

[elgiovo]

Se il quadrato è iscritto nella circonferenza allora la sua diagonale sarà lunga quanto il diametro della circonferenza. Basta che fai un disegno per capirlo. Se si disegna anche la circonferenzina nella lunula si capisce che per ottenere il suo "raggetto" al "raggione" devi togliere metà del lato del quadrato e poi dividere tutto per due.
Il risultato, dopo questa prima iterazione, è che i primi raggi sono $R$ e $R/2(1-sqrt2/2)$. Iterando ancora (ovviamente non bisogna farlo) si ottiene una progressione geometrica di primo termine $R$ e di ragione $1/2(1-sqrt2/2)$. Dopo $n$ iterazioni il raggio della circonferenza sarà diventato $R/2^n(1-sqrt2/2)^n$. Si tratta allora di risolvere in $n$ la seguente disequazione: $R/2^n(1-sqrt2/2)^n

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[IlaCrazy]

capito!!!! è sbagliato secondo te,considerare che il cerkio piccolo ha il diametro verticale ke sta su uno dei vertici dell'ottagono inscritto nella circ??
Il risultato mi è venuto uguale.....
Grazie 1000000000000!!!!!!!!!

(la 2a parte era difficile perchè nn abbiamo ancora fatto logaritmi o limiti....)

[elgiovo]

No, non è sbagliato. Comunque una volta arrivata alla disequazione, potevi risolverla anche senza i logaritmi, andando a tentativi. Usare i logaritmi a volte è addirittura un eccesso, perchè il risultato si vede anche a occhio. I limiti proprio non li vedo...

[IlaCrazy]

Ok perfetto!!!! Grazie!!!

Avrei altri esercizi da proporre,basati sulla dimostrazione x induzione... Sapreste aiutarmi???

1. $(1-1/2)*(1-1/3)*.... (1-1/(n+1))= 1/(n+1)$

2.$1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(n*(n+1))=1-1/(n+1)$

come faccio a dimostrare che queste uguaglianze sono vere attraverso l'induzione???
Grazie a tutti!!!!!!!!!!!!!!!!

[angus89]

Scusa ma qui si tratta solo di seguire le regole che riguardano l'induzione...
Per quanto riguarda il primo esercizio:
Sostituisci 0 ad n e vedi se vale la legge...
Poi sostituisci $n+1$ ad $n$ e guarda cosa ottieni...
Infine moltiplica entrambe le parti della successione originale per $(1-1/((n+1)+1))$ e cerca di ricondurla a quella che hai ottenuto sostituendo $n+1$ ad $n$...

[IlaCrazy]

Il problema è: sostituisco $n+1$ a $n$ in quale espressione??
(numero 1) $1-1/(n+1)$ o in $1/(n+1)$??
potreste farmi vedere solo uno svolgimento??
grazie infinite!!!

[amel3]

- per 0: $1=1$ ok

- supponiamo valga per n (ipotesi induttiva):
$\ \ \ 1*(1-1/2)*(1-1/3)*.... (1-1/(n+1))= 1/(n+1)$
$\ \ \ $così per n+1:
$\ \ \ 1*(1-1/2)*(1-1/3)*.... (1-1/(n+1)) *(1-1/(n+1+1))=1*(1-1/2)*(1-1/3)*.... (1-1/(n+1)) *(1-1/(n+2))=$ ipotesi induttiva
$\ \ \ = 1/(n+1)*(1-1/(n+2))=1/(n+1)-1/[(n+1)(n+2)]=1/(n+2)$
$\ \ \ $come si voleva

[IlaCrazy]

Ma quindi hai sostituito $n+1$ in quale delle 2 espressioni?? destra o sinistra???

[IlaCrazy]

"amel":

$\ \ \ = 1/(n+1)*(1-1/(n+2))=1/(n+1)-1/[(n+1)(n+2)]=1/(n+2)$
$\ \ \ $come si voleva

Non capisco da dove salta fuori questo pezzo.... help me!!!!
thanxxxx

[amel3]

perchè usi l'ipotesi induttiva e quindi sostituisci
$ 1/(n+1)$ al prodotto $1*(1-1/2)*(1-1/3)*.... (1-1/(n+1)) $ (visto che sono uguali per ipotesi...)

[IlaCrazy]

AAAAAHHHHHHHHHH!!!!!!!!!!

Ho capito adesso!!!! grazieee!!!!!!!!!

[IlaCrazy]

Provo a risolvere il 2° se mi date conferma:
$1-1/(n+1)+1/((n+1)*(n+2))$
=$((n+1)*(n+2)-n-1)/((n+1)*(n+2))=$
=$(n+1)^2/((n+1)*(n+2))$= $(n+1)/(n+2)$ è giusto????

[amel3]

mi sembra di no, spiegati meglio...

[IlaCrazy]

allora cm andrebbe risolto??
oddio.....aiuto!!! ghgh

[Celine2]

Dobbiamo dimostrare che

$1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(n*(n+1))=1-1/(n+1)$

Se $n=1$ otteniamo $1/(1*(1+1))=1/2=1-1/(1+1)$, vera.

Supponiamo che la proposizione sia vera per $n$ ovvero che:

(1) $1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(n*(n+1))=1-1/(n+1)$

se riusciamo a dimostrare, sfruttando la (1) che la proposizione
è vera anche per $n+1$ possiamo affermare che è vera per ogni $n$.

per $n+1$ otteniamo:

$1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(n*(n+1))+1/((n+1)*(n+2))=$ (sfruttando la (1))

$1-1/(n+1)+1/((n+1)*(n+2))$=...

Se il risultato sarà $1-1/(n+1+1)$ abbiamo concluso.