Problema risoluzione esercizi trigonometrici

[Fabione94]

Mi potete aiutare con questi esercizi? Giovedì ho l'interrogazione e probabilmente questi saranno quelli che chiederà alla lavagna. Aiuto per cortesia :(

1) cosx < 1 + cos2x 0 < x < 2π


2) sen ( x - π/4 ) - radical3 cos ( x - π/4 ) - radical3 < 0


3) sen ( x - π/3 ) + cos ( x + π/3 ) 0

Grazie in anticipo

[BIT5]

Si tratta di applicare le formule di addizione e sottrazione / duplicazione del seno e del coseno (nelle prime 3) raccoglimento a fattor parziale nella quarta.

Conosci le formule di cui parlo?

Altrimenti prima rivedile, imparale bene, e poi ti posto la soluzione, anche se in verita' dovresti riuscire da solo a fare almeno le prime 3 ;)

[Fabione94]

Si, le conosco ma continuo a non riuscirci mai. Ci fosse stato un solo esercizio che mi fosse riuscito, e quel che è peggio la prof nemmeno si degna di correggerli alla lavagna.

[BIT5]

1) cosx < 1 + cos2x 0 < x < 2π

da cui

cosx < 1 + cos^2 x - sin^2 x

porti tutto a sinistra

[math] \sin^2 x - \cos^2 x + \cos x -1 < 0 [/math]

grazie alla relazione fondamentale della trigonometria, trasformi

[math] \sin^2 x = 1- \cos^2 x [/math]

in modo da avere tutta la disequazione in coseno

[math] 1 - \cos^2 x - \cos^2 x + \cos x - 1 < 0 [/math]

e quindi

[math] -2 \cos^2 x + \cos x < 0 \to 2 \cos^2 x - \cos x > 0 [/math]

raccogli cos x

[math] \cos x \(2 \cos x - 1 \) > 0 [/math]

primo fattore:

cos x > 0 quindi

[math] 0 < x < \frac{\pi}{2} \cup \frac32 \pi < x < 2 \pi [/math]

secondo fattore

[math] \cos x > \frac12 \to 0 < x < \frac{\pi}{3} \cup \frac53 \pi < x < 2 \pi [/math]

a questo punto sulla circonferenza goniometrica, fai lo studio dei segni, ottenendo che la disequazione e' > 0 per:

[math] 0 < x < \frac{\pi}{3} [/math]

(entrambe positive)

[math] \frac{\pi}{2} < x < \frac32 \pi [/math]

(entrambi i fattori negativi)

[math] \frac53 \pi < x < 2 \pi [/math]

entrambi i fattori positivi


2) sen ( x - π/4 ) - radical3 cos ( x - π/4 ) - radical3 < 0

dal momento che hai due argomenti identici, poni

[math] t=x- \frac{\pi}{4} [/math]

la disequazione sara'

[math] \sin t - \sqrt3 \cos t - \sqrt3 < 0 [/math]

dividi tutto per 2, e ottieni

[math] \frac12 \sin t - \frac{\sqrt3}{2} \cos x - \frac{\sqrt3}{2} < 0 [/math]

considera ora solo

[math] \frac12 \sin t - \frac{\sqrt3}{2} \cos x [/math]

sapendo che

[math] \frac12 = \cos \frac{\pi}{3} \\ \\ \\ \frac{\sqrt3}{2} = \sin \frac{\pi}{3} [/math]

avrai che la parte che consideriamo e'

[math] \sin t \cos \frac{\pi}{3} - \cos t \sin \frac{\pi}{3} [/math]

che e' lo sviluppo della formula di sottrazione del seno

[math] \sin \(t - \frac{\pi}{3} \) [/math]

la disequazione iniziale sara' dunque

[math] \sin \(t- \frac{\pi}{3} \) < \frac{\sqrt3}{2} [/math]

sappiamo che il seno e' minore di radice3/2 se l'angolo e' compreso tra 0 e pigreco/3 e tra 5/3 pigreco e 2pigreco.

quindi la soluzione per ora sara'

[math] 0 < \(t- \frac{\pi}{3} \) < \frac{\pi}{3} \cup \frac53 \pi < \( t - \frac{\pi}{3} < 2 \pi [/math]

che equivale a

[math] \{t- \frac{\pi}{3} > 0 \\ t- \frac{\pi}{3} < \frac{\pi }{ 3} [/math]

[math] \cup \{t- \frac{\pi}{3} > \frac53 \pi \\ t- \frac{\pi}{3} < 2 \pi [/math]

Ritornando alla sotituzione dove t= x - pigreco/4

[math] \{x - \frac{\pi}{4}> \frac{\pi}{3} \\ x - \frac{\pi}{4}< \frac23 \pi [/math]

[math] \cup \{x - \frac{\pi}{4}>2 \pi \\ x - \frac{\pi}{4}< \frac73 \pi [/math]

Avremo

[math] \{x > \frac{7}{12} \pi \\ x < \frac{11}{12} \pi [/math]

[math] \cup \{x > \frac94 \pi \\ x < \frac{31}{12} \pi [/math]

e quindi

[math] \frac{7}{12} \pi < x < \frac{11}{12} \pi \cup \frac94 \pi < x < \frac{31}{12} \pi [/math]

Per concludere non rimane che portare i risultati nel primo angolo giro (ovvero da 0 a 2pigreco)

il primo intervallo e' tutto nel primo angolo giro.
Il secondo, invece, è già nel secondo angolo giro (sia 9/4 pigreco che 31/12 pigreco, sono maggior di 2pigreco)

riportiamo dunque l'intervallo nel primo angolo giro (ovvero togliamo un periodo (2pigreco)

[math] \frac94 \pi - 2 \pi = \frac{\pi}{4} \\ \\ \\ \frac{31}{12} \pi - 2 \pi = \frac{7}{12} \pi [/math]

pertanto la soluzione la riscriviamo come

[math] \frac{\pi}{4} < x < \frac{7}{12} \pi \cup \frac{7}{12} \pi < x < \frac{11}{12} \pi [/math]

E siccome in questo esercizio, la soluzione non e' limitata al primo angolo giro inseriamo il periodo

[math] \frac{\pi}{4} +2k \pi < x < \frac{7}{12} \pi + 2k \pi \cup \frac{7}{12} \pi + 2k \pi < x < \frac{11}{12} \pi +2k \pi [/math]

Il "riporto" al primo angolo giro era assolutamente necessario se l'esercizio fosse stato, come il primo

[math] 0 \le x \le 2 \pi [/math]

una volta fatti i passaggi che ho fatto io, la soluzione era corretta.

Dal momento che pero' non esistono le soluzioni, anche la soluzione

[math] \frac{7}{12} \pi +2k \pi < x < \frac{11}{12} \pi + 2k \pi \cup \frac94 \pi + 2k \pi < x < \frac{31}{12} \pi + 2k \pi [/math]

era da considerarsi corretta, in quanto l'esplicazione del periodo, coinvolge anche la seconda soluzione che ti ho scritto

E' solo una scelta stilistica, diciamo (si tende a scrivere sempre le soluzioni nel primo angolo giro) ma comunque entrambe sono corrette.

Ripeto: SOLO se non c'e' limitazione sull'intervallo di soluzione!

Altrimenti l'intervallo 9/4pigreco - 31/12 pigreco era errato in quanto non compreso in 0