Problema risoluzione equazione esponenziale
Salve a tutti, durante lo svolgimento di alcuni esercizi riguardanti le equazioni esponenziali mi sono imbattuto in un esercizio al quale non riesco a dare una soluzione, vi chiedo se gentilmente sarebbe possibile fornirmi una soluzione con spiegazione dettagliata in modo che io possa capire come arrivarci 
Testo dell'esercizio: \(\displaystyle 3^{2-x}-3^{3-x}+3^{x}=0 \)
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà
Testo dell'esercizio: \(\displaystyle 3^{2-x}-3^{3-x}+3^{x}=0 \)
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà
Risposte
Quali sono i tuoi tentativi? Mi sembra un esercizio classico in cui eventualmente usare una variabile ausiliaria ...
Ne ho fatto diversi, ho provato con le proprietà delle potenze ed in altri modi ma invano, il risultato è 1+(log_3(2)/2)
Postali ... quantomeno quello che ritieni più corretto ...
Credo possa essere questo, se non ho sbagliato ho applicato le proprietà delle potenze
\(\displaystyle \frac{3^{2}}{3^{x}}-\frac{3^{3}}{3^{x}}+3^{x}=0 \)
\(\displaystyle \frac{3^{2}}{3^{x}}-\frac{3^{3}}{3^{x}}+3^{x}=0 \)
Ok, adesso per comodità risolutiva poni $t=3^x$ e risolvi l'equazione di secondo grado che ne risulta ...
Scusami ma non capisco, ho chiesto la soluzione con i passaggi proprio per capire come risolverlo! Ho già provato ad usare il metodo di sostituzione purtroppo senza risultati, avere una spiegazione qui è la mia ultima spiaggia
Io penso che tu sia in grado di riscrivere la tua espressione sostituendo $t$ al posto di $3^x$, vero?
E l'equazione che ne consegue è una semplice equazione di secondo grado ...
E l'equazione che ne consegue è una semplice equazione di secondo grado ...
Intendi così? \(\displaystyle \frac{3^{2}}{t}-\frac{3^{3}}{t}+t=0 \)
Certamente ...
Sostituendo, come consigliato da axpgn, ottieni
$9/t-27/t+t=0$ che diventa $(9-27+t^2)/t=0$ posto $t!=0$ ottieni $t^2=18$ da cui $t=+-sqrt18$, ma la radice di 18 diventa $sqrt18=3sqrt2$ per cui $t=+-3sqrt2$risostituendo
$3^x= -3sqrt2$ è impossibile
$3^x= 3sqrt2$ a questo punto si passa al logaritmo in base 3
$log_3 3^x = log_3 (3sqrt2)$
$x=log_3 3+ log_3 sqrt2$
$x=1+1/2 log_3 2$
$9/t-27/t+t=0$ che diventa $(9-27+t^2)/t=0$ posto $t!=0$ ottieni $t^2=18$ da cui $t=+-sqrt18$, ma la radice di 18 diventa $sqrt18=3sqrt2$ per cui $t=+-3sqrt2$risostituendo
$3^x= -3sqrt2$ è impossibile
$3^x= 3sqrt2$ a questo punto si passa al logaritmo in base 3
$log_3 3^x = log_3 (3sqrt2)$
$x=log_3 3+ log_3 sqrt2$
$x=1+1/2 log_3 2$
Ok, è da questo punto che non riesco ad andare avanti! Non capisco come possa dare come risultato \(\displaystyle 1+\frac{\log_3{2}}{2} \) è da questo punto che ho bisogno di una mano
@melia
Non hai pazienza ...
@NerdMind
Leggi la soluzione di @melia (c'è una piccola imprecisione alla fine) ... è solo un'equazione di secondo grado ...
Non hai pazienza ...
@NerdMind
Leggi la soluzione di @melia (c'è una piccola imprecisione alla fine) ... è solo un'equazione di secondo grado ...
\(\displaystyle t^{2}=18 \) deriva dal fato che 27-9=18? Altrimenti non mi spiego come mai sia 18, scusate le mie lacune ma sto studiando da solo
Sì. Per il resto credo ti debba studiare le proprietà dei logaritmi.
"@melia":
Sì. Per il resto credo ti debba studiare le proprietà dei logaritmi.
Ti ringrazio tantissimo per la spiegazione! I logaritmi sono l'argomento successivo che avevo in mente di fare! Grazie mille, mi hai davvero aiutato tantissimo assieme a axpgn, grazie ad entrambi
@NerdMind
Essendo $t$ sempre positivo si può moltiplicare tutto per $t$ in modo da ottenere subito $9-27+t^2=0$, forse così è più evidente che $t^2=18$ ... cmq, non ti puoi "arrendere" davanti ad un'equazione come questa in $t$ ... su, più coraggio, a maggior ragione se studi da solo ...
Essendo $t$ sempre positivo si può moltiplicare tutto per $t$ in modo da ottenere subito $9-27+t^2=0$, forse così è più evidente che $t^2=18$ ... cmq, non ti puoi "arrendere" davanti ad un'equazione come questa in $t$ ... su, più coraggio, a maggior ragione se studi da solo ...
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