Problema riguardante il calcolo infinitesimale

[rofellone]

Salve ragazzi! Sono uno studente appassionato di analisi matematica e volevo chiedervi un aiuto per comprendere un concetto che non riesco a capire:
La derivata prima ha, dal punto di vista geometrico, significato di retta tangente a una determinata curva.
La derivata seconda essendo, in pratica, un incremento della derivata prima ha significato geometrico di concavità della curva. Mi è chiaro che, data una funzione, determinata e discussa la relativa derivata prima dopo averla posta uguale a 0, posso determinare i punti di massimo, minimo e flessi della curva. Non capisco perchè, invece, utilizzando il metodo della derivata seconda per determinare i punti di massimo e minimo e flessi, devo considerare che ho davanti un flesso quando, accertato che la derivata seconda è nulla, la prima derivata che non si annulla è di ordine dispari. Perchè l'ordine dispari della derivata mi fa concludere con sicurezza che ho davanti un punto di flesso?

[giammaria2]

Evitiamo di pensare al flesso, che è solo un'indicazione aggiuntiva, ed enunciamo il teorema in questa forma "Supponendo che la prima derivata che non si annulla sia di ordine n, se n è pari ci sono massimi o minimi mentre non ce ne sono se n è dispari". Verifichiamolo per i primi valori di n:
- per il primo valore dispari, cioè per n=1, il teorema diventa "Se la derivata prima non si annulla non ci sono massimi e minimi" e questo ti è ben noto;
- per il primo valore pari, cioè n=2, ottieni il caso che hai menzionato e che dici di aver capito.
Ragioniamo ora per induzione completa: supposto che il teorema sia vero fino ad un certo valore di n, dimostriamo che lo è anche per n+1. Per questo dobbiamo schizzare il grafico non della funzione $f(x)$ data ma quello di $g(x)=f'(x)$. Distinguiamo a seconda della parità:
- se n+1 è dispari, allora n è pari e la prima derivata di g(x) che non si annulla è di ordine pari, quindi g(x) ha un massimo o un minimo che vale zero: ne consegue che la curva $y=g(x)$ è tutta al di sopra o tutta al di sotto dell'asse x. Quindi $f'(x)$ non cambia segno e non ci sono né massimi né minimi;
- se n+1 è pari la prima derivata di g(x) che non si annulla è di ordine dispari, quindi la curva $y=g(x)$ continua a crescere o decrescere; si annulla nel punto che ci interessa e perciò deve attraversare l'asse x . Ne consegue che il suo segno cambia e quando $f'(x)$ cambia segno la funzione data ha un estremo.

Con ragionamenti del tutto simili al precedente, cioè pensando al grafico di $y=f'(x)$, puoi anche dimostrare che il segno della prima derivata non nulla conduce alle stesse conclusioni che si avrebbero se quel segno fosse attibuito, a seconda dei casi, alla derivata prima o seconda.

[giammaria2]

Mi è venuta in mente un'altra dimostrazione, che penso troverai più semplice.
Quando una funzione derivabile si annulla il suo grafico può attraversare o no l'asse x (escludo le funzioni costanti). Se lo attraversa, la funzione cambia segno; continua a crescere o decrescere, quindi la sua derivata non cambia segno. Se non lo attraversa, la funzione non cambia segno; deve però farlo la sua derivata perché lì c'è un massimo o un minimo. Unendo i due casi diciamo che quando una funzione si annulla cambia il segno di una e una sola fra funzione e derivata.
Supponiamo ora che $f^((n))(c)$ sia la prima derivata non nulla: ci sarà allora un intorno completo di $c$ in cui non cambia segno. Consideriamo $f^((n-1))(x)$: si annulla in $c$ e la sua derivata non cambia segno, quindi lo cambia $f^((n-1))(x)$. Non cambia il segno di $f^((n-2))(x)$, eccetera. Conclusione: non cambiano segno quelle derivate il cui ordine ha la stessa parità di $n$ mentre lo cambiano le altre.
Il numero 1 è dispari, quindi se $n$ è dispari $f'(x)$ non cambia segno e c'è un flesso a tangente orizzontale; se $n$ è pari cambia il segno della derivata e c'è un estremo.