Problema proporzioni
Ciao a tutti. Sto cercando di risolvere questo problema che non riesco a capire. Confido nel vostro aiuto.
Gli ingredienti di una ricetta per una torta alle fragole da 25 cm di diametro, tolti quelli di peso trascurabile, sono:
160 gr di zucchero,
250 gr di farina,
150 ml di latte,
80 gr di burro,
200 gr di fragole.
E’ andato però perso lo stampo del diametro di 25 cm e ce n’è uno di riserva, della stessa
altezza ma col diametro di soli 20 cm. Come andrà modificata la quantità di ciascun ingrediente? (Occhio: passando da un diametro di 25 a uno di 20 cm, la torta non si riduce ai 20/25 … Perché?)
Non riesco a capire come determinare il nuovo diametro della torta, che in base alla soluzione si riduce a $400/625$ cioè i $16/25$. Vi ringrazio
Gli ingredienti di una ricetta per una torta alle fragole da 25 cm di diametro, tolti quelli di peso trascurabile, sono:
160 gr di zucchero,
250 gr di farina,
150 ml di latte,
80 gr di burro,
200 gr di fragole.
E’ andato però perso lo stampo del diametro di 25 cm e ce n’è uno di riserva, della stessa
altezza ma col diametro di soli 20 cm. Come andrà modificata la quantità di ciascun ingrediente? (Occhio: passando da un diametro di 25 a uno di 20 cm, la torta non si riduce ai 20/25 … Perché?)
Non riesco a capire come determinare il nuovo diametro della torta, che in base alla soluzione si riduce a $400/625$ cioè i $16/25$. Vi ringrazio
Risposte
$V_1=hpir_1^2$
$V_2=hpir_2^2$
$V_2=hpir_2^2$
Ti do qualche suggerimento. Non devi determinare il nuovo diametro della torta, quello ce l’hai già ed è 20 cm. Devi determinare la massa della torta più piccola.
In quanto segue, ti suggerisco pure come devi fare se vuoi trovare i quantitativi dei vari ingredienti, da mettere nella torta 2 di diametro più piccolo.
Assumi la densità del latte pari a $1.03 (kg)/(dm^3) $ ( è poco più grande di quella dell’acqua) . Per trovare la massa totale $M_1$ della torta 1 , quella che si avrebbe in uno stampo di 25 cm di diametro, basta sommare le masse dei vari ingredienti. Il volume è dato dal prodotto dell’area di base per l’altezza : $V_1 = S_1*h$ , quindi puoi “scrivere" la densità della torta 1. Ho messo $h$ perché è uguale per entrambi gli stampi, il secondo stampo ha l’area di base $S_2
Torniamo alla prima torta, che non si può fare. I vari ingredienti hanno determinate percentuali, che puoi trovare, no? Le stesse percentuali devi averle nella torta 2, che ha una massa $M_2$ e un volume $V_2 = S_2*h$.
Adesso sai continuare tu un po’ ? Ti dirò che , dai conti preliminari che ho fatto, risulta : $M_2/M_1 = 0.64$ , esattamente come dice il tuo risultato. Si ottiene praticamente subito, mantenendo uguale la densità delle due torte.
In quanto segue, ti suggerisco pure come devi fare se vuoi trovare i quantitativi dei vari ingredienti, da mettere nella torta 2 di diametro più piccolo.
Assumi la densità del latte pari a $1.03 (kg)/(dm^3) $ ( è poco più grande di quella dell’acqua) . Per trovare la massa totale $M_1$ della torta 1 , quella che si avrebbe in uno stampo di 25 cm di diametro, basta sommare le masse dei vari ingredienti. Il volume è dato dal prodotto dell’area di base per l’altezza : $V_1 = S_1*h$ , quindi puoi “scrivere" la densità della torta 1. Ho messo $h$ perché è uguale per entrambi gli stampi, il secondo stampo ha l’area di base $S_2
Torniamo alla prima torta, che non si può fare. I vari ingredienti hanno determinate percentuali, che puoi trovare, no? Le stesse percentuali devi averle nella torta 2, che ha una massa $M_2$ e un volume $V_2 = S_2*h$.
Adesso sai continuare tu un po’ ? Ti dirò che , dai conti preliminari che ho fatto, risulta : $M_2/M_1 = 0.64$ , esattamente come dice il tuo risultato. Si ottiene praticamente subito, mantenendo uguale la densità delle due torte.
Vi ringrazio per l'aiuto. Ma in questo caso come calcolo l'altezza per determinare il volume?
Dal diametro ho ricavato il raggio per poi calcolare i due volumi senza però l'altezza.
Per il primo stampo quindi $V=12,5^2 × 3,14 = 491,6$
Per il secondo $V=10^2* × 3,14 = 314$
Rapportando poi i due volumi viene effettivamente $~0,64$
Ma è corretto lo svolgimento? Come mai sono diversi rispetto alle soluzioni riportate?
Dal diametro ho ricavato il raggio per poi calcolare i due volumi senza però l'altezza.
Per il primo stampo quindi $V=12,5^2 × 3,14 = 491,6$
Per il secondo $V=10^2* × 3,14 = 314$
Rapportando poi i due volumi viene effettivamente $~0,64$
Ma è corretto lo svolgimento? Come mai sono diversi rispetto alle soluzioni riportate?
1) $16/25=0.64$
2) Non ti viene richiesto il nuovo diametro, c'è l'hai già
3) Ti viene richiesto la nuova massa dei componenti ovvero il loro volume.
4) Non puoi calcolare i volumi perché non hai l'altezza
5) Ma ti basta conoscere il rapporto tra volume vecchio e volume nuovo per risolvere il problema
6) Dato che l'altezza non cambia, il rapporto tra i volumi si riduce al rapporto tra le aree di base
7) Aree di base che conosci.
Finito. Ok?
Cordialmente, Alex
2) Non ti viene richiesto il nuovo diametro, c'è l'hai già
3) Ti viene richiesto la nuova massa dei componenti ovvero il loro volume.
4) Non puoi calcolare i volumi perché non hai l'altezza
5) Ma ti basta conoscere il rapporto tra volume vecchio e volume nuovo per risolvere il problema
6) Dato che l'altezza non cambia, il rapporto tra i volumi si riduce al rapporto tra le aree di base
7) Aree di base che conosci.
Finito. Ok?
Cordialmente, Alex
@Alessio
da quello che scrivi mi rendo conto che non hai ancora afferrato il gusto della torta... cioè del problema. Non serve conoscere il valore dell’altezza $h$ dello stampo; se calcoli $\pir^2$ non ottieni un volume, ottieni l’area della sezione di base (stiamo supponendo che gli stampi siano di forma cilindrica). Inoltre i risultati non sono diversi dalle soluzioni riportate. Ti do un altro piccolo aiuto.
LA densità $rho$ delle due torte deve essere la stessa. Allora si hanno le masse:
$M_1 = rho * V_1 = rho S_1h = rho *pi*D_1^2/4*h$
analogamente per la massa della torta più piccola :
$M_2 = rho * V_2 = rho S_2h = rho *pi*D_2^2/4*h$
Quindi : $M_2/M_1 =D_2^2/D_1^2 = 400/625 = 0.64 $
Ci sei fin qui ? Abbiamo stabilito che la torta 2 , avente densità uguale a quella della torta 1 ( che non si può fare, mannaggia, perché qualcuno ha perso lo stampo ! ) , ha una massa : $M_2 = 0.64*M_1$ .
Ora, la massa della 1 la puoi facilmente trovare, è la somma delle masse dei vari ingredienti che ti sono state date.
Perciò, trovi anche la massa della torta 2 , basta moltiplicare la prima per $0.64$.
Per trovare i quantitativi degli ingredienti che ti occorrono per fare la T2 , che devi fare adesso ?
da quello che scrivi mi rendo conto che non hai ancora afferrato il gusto della torta... cioè del problema. Non serve conoscere il valore dell’altezza $h$ dello stampo; se calcoli $\pir^2$ non ottieni un volume, ottieni l’area della sezione di base (stiamo supponendo che gli stampi siano di forma cilindrica). Inoltre i risultati non sono diversi dalle soluzioni riportate. Ti do un altro piccolo aiuto.
LA densità $rho$ delle due torte deve essere la stessa. Allora si hanno le masse:
$M_1 = rho * V_1 = rho S_1h = rho *pi*D_1^2/4*h$
analogamente per la massa della torta più piccola :
$M_2 = rho * V_2 = rho S_2h = rho *pi*D_2^2/4*h$
Quindi : $M_2/M_1 =D_2^2/D_1^2 = 400/625 = 0.64 $
Ci sei fin qui ? Abbiamo stabilito che la torta 2 , avente densità uguale a quella della torta 1 ( che non si può fare, mannaggia, perché qualcuno ha perso lo stampo ! ) , ha una massa : $M_2 = 0.64*M_1$ .
Ora, la massa della 1 la puoi facilmente trovare, è la somma delle masse dei vari ingredienti che ti sono state date.
Perciò, trovi anche la massa della torta 2 , basta moltiplicare la prima per $0.64$.
Per trovare i quantitativi degli ingredienti che ti occorrono per fare la T2 , che devi fare adesso ?
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