Problema programmazione lineare

[Juwan]

Salve ragazzi, sono alle prese con un semplice problema di programmazione lineare, che non riesco a completare, il problema è il seguente: Un allevatore vuole preparare una miscela alimentare per animali, in modo che in ogni Kg di miscela vi sia almeno il 21% di zuccheri, il 24 % di proteine ed il 18% di grassi. In commercio si trovano tre prodotti P1, P2, P3 che rispetto a zuccheri, proteine e grassi presentano le composizioni percentuali date dalla seguente tabella:
Prodotti/Contenuto in % P1 P2 P3
Zuccheri 20 25 20
Proteine 30 - 40
Grassi 10 30 20

I costi al Kg dei prodotti sono, rispettivamente, € 4.00 € 3.50, € 5.00
Il problema consiste nel determinare come l’allevatore deve miscelare i tre prodotti per avere un composto a costo minimo, che rispetti però le precedenti esigenze alimentari.
E’ possibile esprimere un problema attraverso una funzione matematica da minimizzare, nel modo seguente:

z = 4*X1 + 3,5*X2 + 5*X3

ogni valore numerico della X corrisponde al costo al Kg dei tre prodotti, successivamente formiamo il nostro sistema



X1 + X2 + X3 = 1
0,2X1 + 0,25X2 + 0,2X3 >= 0,21
0,3X1 + 0,4X3 >= 0,24
0,1X1 + 0,3X2 + 0,2X3 >=0,18
X1 >=0, X2 >= 0, X3 >= 0

Dal vincolo espresso come equazione si ricava una variabile in funzione della altre, ad esempio X2 = 1 – X1 – X3, si sostituisce questa espressione al modello e si ottiene: Z = 0,5*X1 + 1,5*X3 + 3,5, ora il nostro sistema di conseguenze varia in questo modo

5 X1 + 5X3 <= 4
3 X1 + 4X3 >= 2,4
2X1 + X3 <= 1,2
X1 + X3 <= 1
X1 >= 0, X3 >= 0

Tramite il grafico che non sto qui a disegnare, ho trovato il punto per cui la mia funzione ha un minimo e quindi considerando il problema, è proprio questo punto che interessa a me. Ma ora non so proprio come fare per rispondere all'ultima parte dell'esercizio, ovvero: determinare come l’allevatore deve miscelare i tre prodotti per avere un composto a costo minimo, che rispetti però le precedenti esigenze alimentari.

Spero che qualcuno sarà così gentile e farmi vedere come si svolge quest'ultima parte dell'esercizio, grazie a chi lo farà

[MaMo2]

Dopo aver trovato i punti di intersezione delle rette e verificato che il valore minimo della funzione Z (Zmin = 4,1) si ha per X1 = 0,48, X3 = 0,24 si ottengono le percentuali richieste dei vari prodotti cioè X1 = 48%, X2 = 28%, X3 = 24%.

[Juwan]

Scusa Mamo la mia ignoranza, ma non ricordo come fare per trovare i punti di intersezione con le rette e poi come faccio a vedere che il valore minimo della funzione è 4,1?

[GoldWings]

...sistema d'equazioni....

[Juwan]

Che sia un sistema di equazioni l'avevo già capito, visto che anche nel mio primo post riguardante questo argomento, ho scritto il sistema che avevo risolto, ma ripeto non ricordo come trovare le intersezioni dei punti con gli assi e come trovare il valore minimo della mia funzione