Problema probabilità PNI
Ciao a tutti, premetto che sto allo scientifico tradizionale ed ho fatto probabilità solo da autodidatta. Provavo a risolvere il problema 3 sessione suppletiva maturità PNI '98/'99. Riporto il testo.
"Una ditta dispone di 10 linee telefoniche. La probabilità, in un istante qualsiasi, che una data linea sia occupata è 1/5. Determinato il numero medio di linee telefoniche libere, calcolare per ogni istante, con due cifre significative, la probabilità che:
a) tutte le linee siano occupate
b) almeno una linea sia libera
c) almeno una linea sia occupata
d) esattamente due linee siano libere"
Io ho considerato, visto che la probabilità che la linea sia occupata è 1 a 5, che ogni linea può assumere 5 stati differenti: "occupato" oppure "libero1" "libero2" "libero3" "libero4".
Quindi ho calcolato le possibili configurazioni del sistema $5^(10) $.
Detto l il numero medio di linee libere si deve avere che $ l / 10 = 4/5 $ da cui $l=8$.
Poi, per il punto a) i casi in cui tutte sono occupate sono $1/5^10 = 10^-7$ circa
b) almeno una libera, ci sono 4 modi di essere "libera" quindi $(4*5^9)/5^10=0.80$
c) almeno una occupata, c'è un solo modo di essere "occupato" quindi $5^9/5^10=0.20$
d) esattamente due libere, ci sono 4 modi di essere liberi per ognuna delle due, un solo modo di essere occupati e quindi $(4^2*1)/5^10=1.6*10^-6$
Secondo voi è corretto il procedimento dal punto di vista concettuale? Grazie per le risposte
"Una ditta dispone di 10 linee telefoniche. La probabilità, in un istante qualsiasi, che una data linea sia occupata è 1/5. Determinato il numero medio di linee telefoniche libere, calcolare per ogni istante, con due cifre significative, la probabilità che:
a) tutte le linee siano occupate
b) almeno una linea sia libera
c) almeno una linea sia occupata
d) esattamente due linee siano libere"
Io ho considerato, visto che la probabilità che la linea sia occupata è 1 a 5, che ogni linea può assumere 5 stati differenti: "occupato" oppure "libero1" "libero2" "libero3" "libero4".
Quindi ho calcolato le possibili configurazioni del sistema $5^(10) $.
Detto l il numero medio di linee libere si deve avere che $ l / 10 = 4/5 $ da cui $l=8$.
Poi, per il punto a) i casi in cui tutte sono occupate sono $1/5^10 = 10^-7$ circa
b) almeno una libera, ci sono 4 modi di essere "libera" quindi $(4*5^9)/5^10=0.80$
c) almeno una occupata, c'è un solo modo di essere "occupato" quindi $5^9/5^10=0.20$
d) esattamente due libere, ci sono 4 modi di essere liberi per ognuna delle due, un solo modo di essere occupati e quindi $(4^2*1)/5^10=1.6*10^-6$
Secondo voi è corretto il procedimento dal punto di vista concettuale? Grazie per le risposte
Risposte
Ogni linea telefonica può assumere solo $2$ stati: libera oppure occupata. Quindi il numero di configurazioni possibili è $2^10$. Per il calcolo delle probabilità devi utilizzare la distribuzione binomiale.
ok, ho visto la distribuzione binomiale. E' applicabile al punto a) e al punto d).
Se ho capito bene dice che in un esperimento di Bernoulli (probabilità costante e risultato "booleano" successo/insuccesso) la probabilità che con n tentativi si verifichino k successi è data da $C_{n,k} p^k q^(n-k)$ essendo p la probabilità di successo e q quella di insuccesso.
A parte il punto d, che ho capito in cosa consiste l'errore che ho fatto, e il punto a che è giusto, gli altri due? non posso mica applicare la distribuzione binomiale!
Eppoi d'accordo, che ogni linea possa assumere due stati soli libero/occupato con probabilità diverse ci sto benissimo ma perché non posso interpretare questa diversa probabilità di verificarsi dei due eventi come una serie di eventi distinti equiprobabili, come avevo pensato io?
Se ho capito bene dice che in un esperimento di Bernoulli (probabilità costante e risultato "booleano" successo/insuccesso) la probabilità che con n tentativi si verifichino k successi è data da $C_{n,k} p^k q^(n-k)$ essendo p la probabilità di successo e q quella di insuccesso.
A parte il punto d, che ho capito in cosa consiste l'errore che ho fatto, e il punto a che è giusto, gli altri due? non posso mica applicare la distribuzione binomiale!
Eppoi d'accordo, che ogni linea possa assumere due stati soli libero/occupato con probabilità diverse ci sto benissimo ma perché non posso interpretare questa diversa probabilità di verificarsi dei due eventi come una serie di eventi distinti equiprobabili, come avevo pensato io?
Non si capisce per quale motivo non si possa applicare la distribuzione binomiale anche negli altri casi. Tra l'altro, l'evento $b$ è l'evento complementare dell'evento $a$. Ma al di là di questo, anche senza ricorrere ad eleganti scorciatoie e a patto di eseguire tutti i calcoli, la distribuzione binomiale fornisce le probabilità di tutte le combinazioni che possono verificarsi in un esercizio come questo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo