Problema per la maturità scientifica
Mi sembra interessante come allenamento 
Data la famiglia di curve
$ f(x) = (x^4+ax^2+b)/(x^2+1) $ con $ a,b in RR $
determinare la curva $K $ che :
* sechi la retta di equazione $ y=1 $ in 2 punti e sia tangente ad essa in un (altro) punto.
* sia tangente all'asse $ x $ in 2 punti distinti .
Si studi poi il grafico della curva $K$ .
Si determini l'area della parte finita di piano compresa tra la curva $ K $ e l'asse $x $ .
Data la famiglia di curve
$ f(x) = (x^4+ax^2+b)/(x^2+1) $ con $ a,b in RR $
determinare la curva $K $ che :
* sechi la retta di equazione $ y=1 $ in 2 punti e sia tangente ad essa in un (altro) punto.
* sia tangente all'asse $ x $ in 2 punti distinti .
Si studi poi il grafico della curva $K$ .
Si determini l'area della parte finita di piano compresa tra la curva $ K $ e l'asse $x $ .
Risposte
Mettiamo anche l'ultimo quesito che tale problema, relativo alla sessione 1997 ordinaria, pone:
Calcolare $int_{0}^{3}f(x/3)dx$
La soluzione in qualche parte del sito è già presente, ma sarebbe bello discuterne assieme senza leggerla.
Calcolare $int_{0}^{3}f(x/3)dx$
La soluzione in qualche parte del sito è già presente, ma sarebbe bello discuterne assieme senza leggerla.
"nicola de rosa":
Mettiamo anche l'ultimo quesito che tale problema, relativo alla sessione 1997 ordinaria, pone:
Calcolare $int_{0}^{3}f(x/3)dx$
La soluzione in qualche parte del sito è già presente, ma sarebbe bello discuterne assieme senza leggerla.
Sono d'accordo, adesso tocca ai maturandi
"Camillo":
[quote="nicola de rosa"]Mettiamo anche l'ultimo quesito che tale problema, relativo alla sessione 1997 ordinaria, pone:
Calcolare $int_{0}^{3}f(x/3)dx$
La soluzione in qualche parte del sito è già presente, ma sarebbe bello discuterne assieme senza leggerla.
Sono d'accordo, adesso tocca ai maturandi
[/quote]Caro Camillo, con tutta la buona volontà, ma i maturandi non intendono proprio cimentarsi col quesito
Diamogli tempo...
Ho trovato il quesito interessante perchè un po' diverso dai soliti, richiede qualche pensata più originale
Ho trovato il quesito interessante perchè un po' diverso dai soliti, richiede qualche pensata più originale
Io ho risolto questo problema ed il secondo del 97 (il terzo mi manca xD) come esercizio che aveva assegnato la prof per casa (l'altro ieri se non sbaglio)... Appena ho tempo ve lo posto se volete 
cmq ho controllato con la prof ed è corretto
Ditemi voi se volete lasciare ad altri la possibilità di risolverlo da soli o meno
cmq ho controllato con la prof ed è corretto Ditemi voi se volete lasciare ad altri la possibilità di risolverlo da soli o meno
"V3rgil":
Io ho risolto questo problema ed il secondo del 97 (il terzo mi manca xD) come esercizio che aveva assegnato la prof per casa (l'altro ieri se non sbaglio)... Appena ho tempo ve lo posto se volete
Ditemi voi se volete lasciare ad altri la possibilità di risolverlo da soli o meno
Ecco il terzo problema della sessione ordinaria 1997:
3. Considerare i coni circolari retti in cui è uguale ad una lunghezza assegnata la somma del doppio dell'altezza col diametro della base.
Fra tali coni determinare quello di volume massimo e stabilire se ha anche la massima area laterale.
Nel cono di volume massimo inscrivere poi il cilindro circolare retto avente la base sul piano di base del cono e volume massimo.
A completamento del problema, considerata una funzione reale di variabile reale f(x), definita in un intervallo I, e detta f(x) crescente in I se x'
Sia f(x) una funzione reale di variabile reale derivabile in un intervallo I. Condizione sufficiente ma non necessaria affinché f(x) sia decrescente in I è che risulti f'(x)<0 per ogni x appartenente ad I.
Tutta la soluzione completa della sessione in oggetto è presente, come già detto, nel sito.
;D la traccia l'avevo già Grazie cmq o domani o dopodomani xD mi metto e lo fo anche perché xD in questi due gg devo levarmi prima due compiti di latino davanti
Grazie cmq o domani o dopodomani xD mi metto e lo fo anche perché xD in questi due gg devo levarmi prima due compiti di latino davanti
io ho ragionato così..magari son totalmente fuori strada,però posto lo stesso..
Allora, $f(x)=(x^4+ax^2+b)/(x^2+1))$ è una funzione pari,simmetrica quindi all'asse delle y. Ora,poichè è tangente alla retta y=1 in un solo punto,questo dovrà essere lo stesso sia per il primo che per il secondo quadrante,essendo una funzione simmetrica,e quindi dovrà stare sull'asse delle y e quindi $x=0$. Da cui $f(0)=b$ e quindi $b=1$.
Ora,riscrivendola $f(x)=(x^4+ax^2+1)/(x^2+1)$ Calcolo la derivata prima
$D'y=[(4x^2+2a)(x^2+1)-2(x^4+ax^2+1)]/(x^2+1)$. Ora,poiche nel punto di ascissa 0, la tangente ha coefficiente angolare uguale a 0
$f'(0)= 2a-2 =0$ da cui $a=1$
Quindi la funzione è $f(x)=(x^4+x^2+1)/(x^2+1).
Sono tanto fuori strada??
Allora, $f(x)=(x^4+ax^2+b)/(x^2+1))$ è una funzione pari,simmetrica quindi all'asse delle y. Ora,poichè è tangente alla retta y=1 in un solo punto,questo dovrà essere lo stesso sia per il primo che per il secondo quadrante,essendo una funzione simmetrica,e quindi dovrà stare sull'asse delle y e quindi $x=0$. Da cui $f(0)=b$ e quindi $b=1$.
Ora,riscrivendola $f(x)=(x^4+ax^2+1)/(x^2+1)$ Calcolo la derivata prima
$D'y=[(4x^2+2a)(x^2+1)-2(x^4+ax^2+1)]/(x^2+1)$. Ora,poiche nel punto di ascissa 0, la tangente ha coefficiente angolare uguale a 0
$f'(0)= 2a-2 =0$ da cui $a=1$
Quindi la funzione è $f(x)=(x^4+x^2+1)/(x^2+1).
Sono tanto fuori strada??
La determinazione di $ b $ è corretta ; quella di $ a $ no .
Il ragionamento che fai per trovare $a $ è corretto ma non utile ( inoltre mi sembra che il calcolo della derivata non sia corretto).
Il ragionamento che fai per trovare $a $ è corretto ma non utile ( inoltre mi sembra che il calcolo della derivata non sia corretto).
sisi esatto..pensavo di avere solo x al denominatore e quindi avevo semplificato..comunque..se $f(x)=(x^4+ax^2+1)/(x^+1)$ ed poiche deve essere tangente all'asse x in due punti simmetrici, ponendo $x^2=t$ $(t^2+at+1)/(t+1)$ quindi,poichè è punto di tangenza,il delta deve essere uguale a 0. da cui $a=+-2$. penso sia giusto..ora si tratta solo di scegliere quali dei due:D
e sarà $a=-2$ perchè se no,il numeratore non si annullerebbe mai.
"kekko89":
e sarà $a=-2$ perchè se no,il numeratore non si annullerebbe mai.
Correttamente hai determinato $b$ come dice Camillo. Ma non dimenticare che la retta $y=1$ interseca $f(x)$ in altri due punti che ricavi imponendo ....continua tu.
Inoltre dalla tangenza con l'asse delle ascisse e cioè con la retta $y=0$ ricavi due valori per $a$ di cui uno però non è accettabile perchè....continua tu.
Scusa Kekko, ma se hai posto $x^2=t$, il denominatore come fa a essere $t+1$?
"Gregor":
Scusa Kekko, ma se hai posto $x^2=t$, il denominatore come fa a essere $t+1$?
Errore suo di battitura, credo.
Invece di scrivere al denominatore
x^2+1
ha scritto
x^+1 omettendo il due dell'esponente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo