Problema parametrico di trigonometria e discussione grafica
Salve menti matematiche,
vi scrivo poichè ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un problema di trigonometria, confidando nella vostra preparazione.
Ecco il testo del problema:
è dato il triangolo isoscele ABC di base ab=4l e altezza ch=ab, sul prolungamento di hb, oltre B, considerare un punto P tale che hp=3l e da p condurre una semiretta che incontri i lati ac e bc rispettivamente in s e r in modo che risulti:
$AS-BR=root2 5kBP$
L'ho svolto nel modo seguente:
Posto $HPR=x$ e $HPC=alpha$ si ha $0
successivamente ho posto BR=$lsinx/sin(beta-x)$ e AS=$5lsinx/sin(beta+x)$ dove beta è l'ampiezza dell'angolo ABC.
sostituiti nella funzione i valori trovati e svolti i calcoli ecco il risultato:
$8sin2x-(6-5k)cos2x+6-5k=0$
che diventa il fascio $8y-(6-5k)x+6-5k=0$ con rette generatrici $y=3/4x-3/4$ e $x=1$ e con le condizioni suddette.
Premetto che non posso controllare il risultato; il mio problema sorge però nel passo successivo, ovvero nella discussione grafica.
Qui non so veramente come disegnare il fascio e applicare le condizioni, ovvero $0<2x<2alpha$.
Sperando di aver rispettato il regolamento, aspetto impaziente numerose risposte.
vi scrivo poichè ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un problema di trigonometria, confidando nella vostra preparazione.
Ecco il testo del problema:
è dato il triangolo isoscele ABC di base ab=4l e altezza ch=ab, sul prolungamento di hb, oltre B, considerare un punto P tale che hp=3l e da p condurre una semiretta che incontri i lati ac e bc rispettivamente in s e r in modo che risulti:
$AS-BR=root2 5kBP$
L'ho svolto nel modo seguente:
Posto $HPR=x$ e $HPC=alpha$ si ha $0
successivamente ho posto BR=$lsinx/sin(beta-x)$ e AS=$5lsinx/sin(beta+x)$ dove beta è l'ampiezza dell'angolo ABC.
sostituiti nella funzione i valori trovati e svolti i calcoli ecco il risultato:
$8sin2x-(6-5k)cos2x+6-5k=0$
che diventa il fascio $8y-(6-5k)x+6-5k=0$ con rette generatrici $y=3/4x-3/4$ e $x=1$ e con le condizioni suddette.
Premetto che non posso controllare il risultato; il mio problema sorge però nel passo successivo, ovvero nella discussione grafica.
Qui non so veramente come disegnare il fascio e applicare le condizioni, ovvero $0<2x<2alpha$.
Sperando di aver rispettato il regolamento, aspetto impaziente numerose risposte.
Risposte
Premesso che ci sono dei calcoli che non mi tornano, ma potrei aver sbagliato io un segno, adesso rifaccio i conti e poi ti dico.
Per le limitazioni sappiamo che
1) $alpha$ è un angolo acuto, quindi $0<2*alpha< pi$
2) $sin alpha=4/5$ e $cos alpha = 3/5$ , per trovarli basta risolvere il triangolo CHP
Si possono calcolare sia il seno che il coseno di $2*alpha$ che ci permettono di individuare le limitazioni del problema
Per le limitazioni sappiamo che
1) $alpha$ è un angolo acuto, quindi $0<2*alpha< pi$
2) $sin alpha=4/5$ e $cos alpha = 3/5$ , per trovarli basta risolvere il triangolo CHP
Si possono calcolare sia il seno che il coseno di $2*alpha$ che ci permettono di individuare le limitazioni del problema
Ho risolto nuovamente l'equazione e mi viene
$8sin2x+(6-5k)cos2x-6-3k=0$
l'equazione dovrebbe essere esatta perché i due casi limite ($x=0$ e $x=2*alpha$) danno correttamente la soluzione $k=0$
$8sin2x+(6-5k)cos2x-6-3k=0$
l'equazione dovrebbe essere esatta perché i due casi limite ($x=0$ e $x=2*alpha$) danno correttamente la soluzione $k=0$
un modo che ritengo abbastanza semplice per risolvere l'equazione parametrica è questo:
poni $sin2x=Y,cos2x=X$, ottieni il fascio proprio di rette $8Y+(6-5k)X-6-3k=0$ (non ho controllato i calcoli, ma ho ritenuto attendibile il risultato di @melia)
interseca il fascio con la circonferenza goniometrica : $X^2+Y^2=1$ e poni le limitazioni :
$0
ora, per trovare le soluzioni, trova prima il centro del fascio e quindi disegna le due rette limite (le rette del fascio che passano per i punti (1;0) e (0;1))
imponi il passaggio per i due punti per trovare i valori corrispondenti di k, e poi trova il valore di k che mi dà la retta tangente alla circonferenza nel primo quadrante
a questo punto dovrebbe essere chiaro graficamente quali sono le soluzioni
se vuoi un esempio del metodo risolutivo, prova a guardare qui : http://manuale.matematicamente.it/forum/read.php?57,534
poni $sin2x=Y,cos2x=X$, ottieni il fascio proprio di rette $8Y+(6-5k)X-6-3k=0$ (non ho controllato i calcoli, ma ho ritenuto attendibile il risultato di @melia)
interseca il fascio con la circonferenza goniometrica : $X^2+Y^2=1$ e poni le limitazioni :
$0
ora, per trovare le soluzioni, trova prima il centro del fascio e quindi disegna le due rette limite (le rette del fascio che passano per i punti (1;0) e (0;1))
imponi il passaggio per i due punti per trovare i valori corrispondenti di k, e poi trova il valore di k che mi dà la retta tangente alla circonferenza nel primo quadrante
a questo punto dovrebbe essere chiaro graficamente quali sono le soluzioni
se vuoi un esempio del metodo risolutivo, prova a guardare qui : http://manuale.matematicamente.it/forum/read.php?57,534
Ho risolto nuovamente l'equazione e mi viene
l'equazione dovrebbe essere esatta perché i due casi limite ( e ) danno correttamente la soluzione
Ho ricontrollato l'equazione e mi viene
$8sin2x-(6-5k)cos2x+6-3k=0$
comunque ho provato a disegnare il grafico seguendo il tuo risultato; il centro del fascio è $(-3/5;6/5)$.
Ho intersecato il fascio con il punto $(1;0)$ (k=0); poi con il punto $(3/5;4/5)$.
Le soluzioni del libro sono però $[0;3-sqrt5]$.
Chiedo di aiutarmi in quest'ultima parte dato che sono veramente confuso.
ho riguardato il problema, e c'è un errore nell'impostazione dell'equazione, in quanto dovrebbe comparire $sqrt5k$ e non soltanto $5k$
prova a rifare i calcoli
prova a rifare i calcoli
@ Nicole93, guarda che non ci sono errori nelle formule, o almeno non in quelle che ho usato io.
Ieri sera avevo preparato una pagina di risposta, poi è saltata la connessione e ho perso tutto, stamattina sarò più breve ché ho fretta.
@ the mastermind
Ho risolto tutto il problema e mi vengono esattamente i riisultati postati da te, quindi
1) la mia equazione risolutiva è esatta, sei sicuro di aver sostituito correttamente $sin^2 alpha=(1-cos2alpha)/2$? Mi pare che il tuo errore dipenda da un segno di questa formula;
2) l'angolo di variazione adesso è $2*alpha$ e non è più un angolo acuto, inoltre per trovare l'arco si devono calcolare seno e coseno di $2*alpha$ che sono rispettivamente $24/25$ e $-7/25$.
3) la retta del fascio che passa per i due estremi dell'arco è la stessa, ovvero $k=0$
4) l'altro valore di k lo ottieni cercando la tangente all'arco, qualunque sia il metodo che utilizzi per calcolare la tangente dovresti ottenenre due rette, una con $k=3-sqrt5$ e l'altra con $k=3+sqrt5$, poi guardando la crescenza di k all'interno del fascio scegli la retta conveniente.
Non so se mi sono spiegata bene, magari se ci sono ancora problemi postate pure la richiesta di delucidazioni, però oggi mi posso ricollegare solo verso sera.
Ieri sera avevo preparato una pagina di risposta, poi è saltata la connessione e ho perso tutto, stamattina sarò più breve ché ho fretta.
@ the mastermind
Ho risolto tutto il problema e mi vengono esattamente i riisultati postati da te, quindi
1) la mia equazione risolutiva è esatta, sei sicuro di aver sostituito correttamente $sin^2 alpha=(1-cos2alpha)/2$? Mi pare che il tuo errore dipenda da un segno di questa formula;
2) l'angolo di variazione adesso è $2*alpha$ e non è più un angolo acuto, inoltre per trovare l'arco si devono calcolare seno e coseno di $2*alpha$ che sono rispettivamente $24/25$ e $-7/25$.
3) la retta del fascio che passa per i due estremi dell'arco è la stessa, ovvero $k=0$
4) l'altro valore di k lo ottieni cercando la tangente all'arco, qualunque sia il metodo che utilizzi per calcolare la tangente dovresti ottenenre due rette, una con $k=3-sqrt5$ e l'altra con $k=3+sqrt5$, poi guardando la crescenza di k all'interno del fascio scegli la retta conveniente.
Non so se mi sono spiegata bene, magari se ci sono ancora problemi postate pure la richiesta di delucidazioni, però oggi mi posso ricollegare solo verso sera.
ciao ragazzi,
posto qui per non aprire un altro topic.
Sono alle prese con altri 2 problemi e questa volta faccio fatica anche a impostare l'equazione.
Ecco il primo:
in una semicirconferenza di diametro $AB=2r$ si consideri la corda di lunghezza $AC=rsqrt3$
determinare sull'arco AC un punto P in modo che, dette M la proiezione di P sulla tangente in B ed N la proiezione di P sulla corda AC, risulti:
$PM+PN=2kr$
Allora io ho tentato 2 strade:
la prima, poco ortodossa e probabilmente sbagliata dal punto di vista teorico, è stata quella di porre $PM=x e PN=y$
vi ho postato questo tentativo anche perchè provando a intersecare il fascio risultante con la circonferenza goniometrica un estremo di un intervallo soluzione usciva, anche se probabilmente è una coincidenza;
nella seconda ho posto l'angolo $PAC=x$. Dopodichè ho calcolato $PC=2rsinx e $PN=2rsinxsin(pi/3-x)$
il problema è che non riesco proprio a trovare PM.
il secondo è il seguente:
Detta $gamma1$ la circonferenza di centro $O1$ e raggio 1, siano A e B due dei suoi punti tali che:
$sinAO1B=sinalpha=4/5 con 0
detto C il punto in cui $gamma2$ interseca il segmento AO2, considerare sull'arco minore di AB un punto P tale che:
$PC^2+PA^2=k$
ho provato a porre PAC=x anche se le limitazioni non le capisco;
poi ho calcolato $AO2=4/3 e O1O2=5/3$ quindi $BO2=2/3 e AC=2/3$
Poi posto $PAO1=pi/2-x e PO1A=2x$ trovo $PA=sin2x/cosx e PC^2=sin^22x/cos^2x+4/9+(-4sin2x/3cosx)cosx$ con il teorema di Carnot;
in seguito sostituendo ottengo la seguente schifezza:
$18cos4x-6sin4x+(4-9k)cos2x-12sin2x+22-9k=0$ (dovrei usare la bisezione?)
vi prego aiutatemi
posto qui per non aprire un altro topic.
Sono alle prese con altri 2 problemi e questa volta faccio fatica anche a impostare l'equazione.
Ecco il primo:
in una semicirconferenza di diametro $AB=2r$ si consideri la corda di lunghezza $AC=rsqrt3$
determinare sull'arco AC un punto P in modo che, dette M la proiezione di P sulla tangente in B ed N la proiezione di P sulla corda AC, risulti:
$PM+PN=2kr$
Allora io ho tentato 2 strade:
la prima, poco ortodossa e probabilmente sbagliata dal punto di vista teorico, è stata quella di porre $PM=x e PN=y$
vi ho postato questo tentativo anche perchè provando a intersecare il fascio risultante con la circonferenza goniometrica un estremo di un intervallo soluzione usciva, anche se probabilmente è una coincidenza;
nella seconda ho posto l'angolo $PAC=x$. Dopodichè ho calcolato $PC=2rsinx e $PN=2rsinxsin(pi/3-x)$
il problema è che non riesco proprio a trovare PM.
il secondo è il seguente:
Detta $gamma1$ la circonferenza di centro $O1$ e raggio 1, siano A e B due dei suoi punti tali che:
$sinAO1B=sinalpha=4/5 con 0
detto C il punto in cui $gamma2$ interseca il segmento AO2, considerare sull'arco minore di AB un punto P tale che:
$PC^2+PA^2=k$
ho provato a porre PAC=x anche se le limitazioni non le capisco;
poi ho calcolato $AO2=4/3 e O1O2=5/3$ quindi $BO2=2/3 e AC=2/3$
Poi posto $PAO1=pi/2-x e PO1A=2x$ trovo $PA=sin2x/cosx e PC^2=sin^22x/cos^2x+4/9+(-4sin2x/3cosx)cosx$ con il teorema di Carnot;
in seguito sostituendo ottengo la seguente schifezza:
$18cos4x-6sin4x+(4-9k)cos2x-12sin2x+22-9k=0$ (dovrei usare la bisezione?)
vi prego aiutatemi
Problema 1
Il secondo metodo va bene. Indica con H la proiezione di P su AB, con un po' di lavoro si può trovare AH e quindi HB, per come è definito $PM=HB$.
Il secondo metodo va bene. Indica con H la proiezione di P su AB, con un po' di lavoro si può trovare AH e quindi HB, per come è definito $PM=HB$.
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