Problema Parabola e Funzioni

[LucaRiccardi]

Buongiorno, ho provato in tutti i modi a risolvere questo esercizio ma non riesco a venirne a capo.
Grazie mille

[Yuri.Nardi]

Buonasera LucaRiccardi,
quando devi risolvere un problema, disegna sempre che ti aiuta. Detto questo ti posto la risoluzione (sqrt[argomento] indica la radice quadrata dell'argomento e pi indica il pigreco=3.14):

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a)per determinare il valore ''a'' dell'arco di circonferenza parametrizzato, il consiglio che ti do e' quello di scrivere la circonferenza in forma implicita per capire come variano la posizione del centro e del raggio al variare di a:
X^2+f(X)^2-2*X-a=0
X^2+f(X)^2-2*X+1-1-a=0
(X-1)^2+f(X)^2=1+a

Quindi la circonferenza ha il centro fisso e raggio funzione di a:
C=(1,0)
R=sqrt[1+a]

Siccome C_Y=0 e la circonferenza deve passare per Y=3, allora R=3 e quindi il parametro a si determina come:
sqrt[1+a]=3
1+a=9
a=8

La funzione dell'arco di circonferenza diventa f(X)=sqrt[8+2*X-X^2], per determinare gli zeri basta imporre f(X)=0 e per determinare il punto C, basta intersecare f(X) con Y=3 oppure si individuano graficamente:
A=(-2,0)
B=(4,0)
C=(1,3)

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b)per determinare i valori di b e c basta imporre il passaggio dei punti A e B per g(X) ricavando cosi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite:
0=(-2)^2+(-2)*b+c
0=(4)^2+(4)*b+c
procedo sottraendo la prima riga alla seconda:
0=16-4+4*b+2*b+c-c
quindi:
b=-12/6=-2
c=-(4)^2-(4)*(-2)=-8
e quindi possiamo scrivere la parabola come g(X)=X^2-2*X-8

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c)per determinare l'area della regione del piano delimitata dalle curve f(x) e g(X) si puo procedere in diversi modi:
1)somma degli integrali:
A=integrale da X_A a X_B di f(x) in dX meno integrale da X_A a X_B di g(X) in dX;
2)metodo grafico e geometrico come somma di un settore circolare e di un segmento parabolico:
sia quindi R il raggio della circonferenza e g(X)=a*X^2+b*X+c la generica parabola, la somma delle aree si scrive come:
A=(pi*R^2)/2+1/6*|a|*(X_B-X_A)^3=
=9*pi/2+1/6*1*(6)^3=9*pi/2+36
3)metodo misto facendo l'area dell settore circolare graficamente e l'area della parabola come area sottesa al grafico (nel caso in cui non si ricorda la formula del segmento parabolico)

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d)la retta r(X)=3 mentre le altre due rette s e t si determinano generando un generico fascio di rette passanti per risp. per A e B e intersecandole con la parabola per determinare i coefficienti angolari tali che si annulli il discriminante:
s(X):Y=m1*(X+2)
t(X):Y=m2*(X-4)

interseco s(X) con g(X):
m1(X+2)=X^2-2*X-8
X^2-(2+m1)-(8+2*m1)=0

annullo il discriminante(nel caso generale aX+bY+c=0):
b^2-4*a*c=0
e quindi nel caso particolare:
(2+m1)^2-4*1*(-8-2*m1)=0
4+m1^2+4*m1+32+8*m1=0
m1^2+12*m1+36=0
(m1+6)^2=0
m1=-6

per determinare m2, il ragionamento e' analogo oppure in modo piu' smart si individua la simmetria della parabola e siccome i punti di tangenza sono simmetrici, capisco che la retta tangente t in B ha la pendenza uguale ed opposta alla retta tangente s in A:
m2=6

quindi s(X) e t(X) si riassumono come:
s(X)=-6*X-12
t(X)=6*X-24

infine per determinare l'area del triangolo che scriveremo come il semiprodotto tra la base e l'altezza, mi devo trovare i punti notevoli quali il punto di intersezione Q tra s(X) e t(X) , il punto S tra s(x) e r(X) e il punto T intersezione tra t(X) e r(X):
Q=(1,-18 )
S=(-2.5,3)
T=(4.5,3)

base e altezza del triangolo:
l=T_X-S_X=4.5-(-2.5)=7
h=C_Y-Q_y=3-(-18 )=21
A=l*h/2=7*21/2=147/2

Fammi sapere se e' tutto chiaro, e buono studio :D