Problema parabola e corda intercettata

[hkproj2]

Salve, sul mio libro ho il seguente quesito:
Data la parabola $ y = (1/2)x^2 + 3 $ e la retta $ y = x + m $ (dove m appartiene ad R), determinare il luogo dei punti medi di tutte le corde intercettate dalla parabola sulle rette date, al variare di m.
Io ho fatto così:
Ho fatto intersecare la parabola e la retta e ho trovato le due X in funzione di m:
$ x_1 = 1 + sqrt(-5 + 2*m) $
$ x_2 = 1 - sqrt(-5 + 2*m) $

Poi ho calcolato il punto medio tra i due punti in funzione di M
e ho trovato questo:
$ XMedio = 1 $
$ YMedio = m + 1 $

Io so che il risultato è una retta, ma come faccio a dimostrarlo???
*EDIT*
Ok, forse posso sembrare un po imbecille...
ma non capisco una cosa, io so ogni punto del luogo è P(1;m+1)
Ma come faccio a dimostrare che tutti questi punti messi assieme tracciano una retta, senza farlo mentalmente (perché si capisce che è una retta verticale)...
Grazie,

[franced]

In realtà non si tratta di una retta, ma di una semiretta.

[hkproj2]

perché dovrebbe essere una semiretta? tu puoi assegnare una M negative o M positiva e puoi farlo all'infinito... (infatti M appartiene ad R)

[franced]

Prova a guardare la radice quadrata:

$sqrt(2 m - 5)$

sei proprio sicuro di trovare intersezione per ogni $m$ ?

[hkproj2]

forse ho sbagliato qualcosa... tu come avresti fatto?

[@melia]

Non hai sbagliato niente ti sei solo dimenticato della condizione di esistenza quando hai calcolato l'intersezione
$ x_1 = 1 + sqrt(-5 + 2*m) $
$ x_2 = 1 - sqrt(-5 + 2*m) $
hai la condizione di esistenza $-5 + 2*m>=0$ da cui $m<=5/2$, se poi il punto medio non contiene le radici, resta il problema che tale punto medio non esiste se non esistono i punti di intersezione
Il luogo dei punti medi è, quindi, $P(1;m+1)$ con $m<=5/2$, quindi la parte della retta $x=1$ con $y<=7/2$