Problema parabola (54402)

[cecco93]

Scrivi l'equazione delle parabole y=ax^2+bx+4,tangenti all'asse delle ascisse e aventi,nel punto di ascissa 3,la tangente di coefficiente angolare 2...come lo risolvereste?Io ho provato ma non avendo il punto nel quale e tangente non so come risolverlo...bisognerebbe credo trovare una relazione tra m e il punto ma non so come...Grazie a chiunque mi aiuti :)

Aggiunto 1 giorni più tardi:

no derivate non le abbiamo fatte...c'è un altro metodo?

Aggiunto 2 ore 10 minuti più tardi:

ma c'è un'alternativa?Perchè io non ne trovo :scratch

Aggiunto 15 ore 34 minuti più tardi:

grazie milla ora ho capito...grazie ancora :D

[enrico___1]

Le parabole sono tangenti all'asse x; quindi il vertice avrà coordinata y=0

[math]
V_y=\frac{-b^2+4a4}{2a}=0\Rightarrow a=\frac{b^2}{16}
[/math]

Con

[math]a\not =0[/math]

l'equazione delle parabole saranno

[math]
y=\frac{b^2x^2}{16}+bx+4
[/math]

Il coefficiente angolare in tre è dato dalla derivata prima calcolata in tre. Quando hai calcolato la derivata in tre la poni uguale a due.
Risolvi l'eqauzione di secondo grado in b e sostituisci i due valori nella forumla della parabola, ottenendo così le due curve cercate.

Aggiunto 5 minuti più tardi:

[math]
f'(x)=\frac{xb^2}{8}+b
[/math]

[math]
f'(3)=\frac{3b^2}{8}+b
[/math]

[math]
2=\frac{b^2x}{8}+b
[/math]

Risolvi e ottieni:

[math]
b_{1}=\frac{4}{3} \ \ \ b_{2}=-4
[/math]

Le equazioni delle parabole da te cercate sono:

[math]
y_{1}=\frac{x^2}{9}+\frac{4x}{3}+4
[/math]

[math]
y_{2}=x^2-4x+4
[/math]

[BIT5]

Temo che un diciassettenne dell'ITIS non abbia ancora affrontato il tema delle derivate..

cecco93, facci sapere se la risposta di enrico e' in linea con il programma o no, in modo da poterti postare l'alternativa :)

Aggiunto 1 giorni più tardi:

"Si c'e' se attendi 10 minuti ti posto la soluzione"

Aggiunto 14 minuti più tardi:

Tutte le parabole, come ti ha detto enrico___1 sono della forma

[math] y= \frac{b^2}{16}x^2+bx+4 [/math]

Sappiamo che la retta e' tangente alla parabola nel punto di ascissa 2 che avra' come coordinate (dal momento che il punto appartiene alla parabola) x=2 y=4b^2/16+2b+4=b^2/4+2b+4

Quindi il punto generico avra' coordinate

[math] P \(2,\frac{b^2}{4}+2b+4 \)[/math]

Sappiamo che le rette di un fascio di centro

[math] x_0,y_0 [/math]

hanno equazione generica

[math] y-y_0=m(x-x_0) [/math]

E siccome abbiamo y e x del centro del fascio (ovvero il punto di tangenza) e la pendenza, il fascio sara'

[math] y-( \frac{b^2}{4}+2b+4 \)=2(x-3) [/math]

Ovvero, facendo i conti e minimo comune denominatore,

[math] 4y-b^2-8b-16=8x-24 \to 8x-4y+b^2+8b+8=0 [/math]

Intersechiamo il fascio di rette con il fascio di parabole (minimo comune multiplo anche della parabola)

[math] \{16y=b^2x^2+16bx+64 \\ 8x-4y+b^2+8b-8=0 [/math]

Dunque, per velocizzare, moltiplichiamo ancora per 4 tutta la seconda equazione e avremo

[math] 32x+4b^2+32b-32=16y [/math]

E quindi per confronto (16y=16y)

[math] b^2x^2+16bx+64=32x+4b^2+32b-32 [/math]

A questo punto riscrivi l'equazione di secondo grado

[math] b^2x^2+x(16b-32)-4b^2-32b+32=0 [/math]

Dove ricordando che nel caso

[math] ax^2+bx+c=0 [/math]

Abbiamo che

[math] a=b^2 \\ b=16b-32 \\ c=-4b^2-32b+32 [/math]

Calcoliamo il delta e lo poniamo = 0.

Grazie ai valori che annullano il delta troveremo le parabole tangenti alle rette di pendenza = 2

Ricontrolla i calcoli, ma il metodo e' questo :)