Problema parabola
Altro problema sulla parabola:
Scrivere l'equazione del tipo $y = ax^2 + bx + c$ della parabola avente per vertice il punto (5; - 1) e che taglia l'asse y nel punto di ordinata 3.
Ho visto gli esempi sul libro, ma non mi sono affatto chiari poiché procede con questa formula $(-b)/(2a)$ e abbina le coordinate in modo poco comprensibile.
Grazie in anticipo.
Scrivere l'equazione del tipo $y = ax^2 + bx + c$ della parabola avente per vertice il punto (5; - 1) e che taglia l'asse y nel punto di ordinata 3.
Ho visto gli esempi sul libro, ma non mi sono affatto chiari poiché procede con questa formula $(-b)/(2a)$ e abbina le coordinate in modo poco comprensibile.
Grazie in anticipo.
Risposte
Data una parabola del tipo da te indicato, quali sono le coordinate del vertice?
"Cozza Taddeo":
Data una parabola del tipo da te indicato, quali sono le coordinate del vertice?
(5; -1)
"Feuerbach":
[quote="Cozza Taddeo"]Data una parabola del tipo da te indicato, quali sono le coordinate del vertice?
(5; -1)[/quote]
Non mi sono spiegato bene.
Data una parabola qualsiasi (non quella del tuo esercizio) di equazione
$y=ax^2+bx+c$
come si esprimono le coordinate del vertice in funzione dei coefficienti $a$, $b$ e $c$?
P.S.: se non lo sai, non rispondere "non lo so" ma va a vedere direttamente il tuo libro nel capitolo in cui spiega la parabola e vedrai che troverai la risposta corretta a questa domanda.
credo che tu debba porre in un sistema
c=3 poichè dall'intersezione della parabola con l'asse delle y avendo quest 'asse x=0 $y=ax^2+bx+c$ diviene c=3
poi poni $-b/(2a)=5$ e $-(b^2-4ac)/(4a)=-1$ poi credo tu debba risolvere un sistema a tre equazioni
c=3 poichè dall'intersezione della parabola con l'asse delle y avendo quest 'asse x=0 $y=ax^2+bx+c$ diviene c=3
poi poni $-b/(2a)=5$ e $-(b^2-4ac)/(4a)=-1$ poi credo tu debba risolvere un sistema a tre equazioni
"fed27":
credo che tu debba porre in un sistema
c=3 poichè dall'intersezione della parabola con l'asse delle y avendo quest 'asse x=0 $y=ax^2+bx+c$ diviene c=3
poi poni $-b/2a=5$ e $-(b^2-4ac)/(4a)=-1$ poi credo tu debba risolvere un sistema a tre equazioni
Ok, grazie. Provo.
Il libro non fornisce alcuna formula a riguardo. Non so da dove prendere a, b e c.
"Feuerbach":
Il libro non fornisce alcuna formula a riguardo. Non so da dove prendere a, b e c.
infatti le ricavi dal sistema a tre come sopra
"Feuerbach":
Il libro non fornisce alcuna formula a riguardo.
Non ci credo neanche se me lo giuri sulla tua testa.
Se nel tuo libro è spiegata la parabola sono sicuramente indicate le formule per esprimere le coordinate del vertice in funzione dei parametri $a$, $b$ e $c$ (intendo ovviamente nella parte di teoria).
"Feuerbach":
Non so da dove prendere a, b e c.
Sono i coefficienti della parabola in forma canonica
$y=ax^2+bx+c$
P.S.: al di là dell'esecuzione dei conti, hai compreso da dove provengono le uguaglianze suggerite da fed27? Se la risposta è negativa non ti serve a niente svolgere i calcoli correttamente, perché la prossima volta sarai di nuovo spiazzato (ovvero nei casini...)
"Cozza Taddeo":
[quote="Feuerbach"]Il libro non fornisce alcuna formula a riguardo.
Non ci credo neanche se me lo giuri sulla tua testa.
Se nel tuo libro è spiegata la parabola sono sicuramente indicate le formule per esprimere le coordinate del vertice in funzione dei parametri $a$, $b$ e $c$ (intendo ovviamente nella parte di teoria).
"Feuerbach":
Non so da dove prendere a, b e c.
Sono i coefficienti della parabola in forma canonica
$y=ax^2+bx+c$
P.S.: al di là dell'esecuzione dei conti, hai compreso da dove provengono le uguaglianze suggerite da fed27? Se la risposta è negativa non ti serve a niente svolgere i calcoli correttamente, perché la prossima volta sarai di nuovo spiazzato (ovvero nei casini...)[/quote]
Non esistono pillole in grado di far capire la matematica, vero?
Oggi sono stato al corso di recupero e per evidenziare le mie lacune ho chiesto al professore di svolgere un problema alla lavagna. Nonostante le sue indicazioni non sapevo da dove partire, proprio nulla..
Non so cos'altro devo fare per poter capire sta dannata materia..
Ma $y=ax^2+bx+c$ non è un'equazione di secondo grado?
"Feuerbach":
Non so cos'altro devo fare per poter capire sta dannata materia..
Studiarla dal principio con la volontà di comprenderla e non con la sola preoccupazione di passare il debito perché altrimenti il debito non lo passi neanche se campi cent'anni. Se non adotti questo atteggiamento, mi spiace per te, il debito te lo ritroverai anche il prossimo anno...
Davanti alla matematica siamo davvero tutti uguali: "non c'è una via regia alla matematica"...
"Feuerbach":
Altro problema sulla parabola:
Scrivere l'equazione del tipo $y = ax^2 + bx + c$ della parabola avente per vertice il punto (5; - 1) e che taglia l'asse y nel punto di ordinata 3.
Ho visto gli esempi sul libro, ma non mi sono affatto chiari poiché procede con questa formula $(-b)/(2a)$ e abbina le coordinate in modo poco comprensibile.
Grazie in anticipo.
Ragioniamo:
poiché l'ordinata del vertice è minore dell'ordinata del punto $(0;3)$ la parabola è rivolta verso l'alto.
Poi, dalla simmetria della parabola si ricava banalmente che essa passa anche per il punto $(10;3)$ (se volete non
serve a nulla, ma è corretto..)
La parabola la puoi scrivere come:
$y = a (x-5)^2 - 1$
basta sostituire ora
$x=0$ e $y=3$ e trovi il valore di $a = \frac{4}{25}$ (positivo come previsto)
Metodo alternativo:
poiché la parabola resta "inscatolata" nel rettangolo di base 10 e altezza 4, e poiché
l'area sotto la parabola è uguale a un terzo dell'area del rettangolo (questo perché un segmento parabolico ha
area pari ai due terzi del rettangolo), quindi:
($\frac{1}{3} * (10*4) = \frac{40}{3}$)
si ha:
$\int_{-5}^{5} k x^2 = \frac{40}{3}$
$\frac{250}{3} k = \frac{40}{3}$
$k = \frac{4}{25}$.
Oss: ho considerato $kx^2$ perché le aree sono invarianti per traslazioni.
Francesco Daddi
ormai non ricordo più bene, ma mi sa che quando si studiano le parabole non si abbia ancora idea degli integrali.
Invece, la considerazione che, in base alla simmetria, la parabola passa anche per il punto (10,3) è direttamente utilizzabile, perché fornisce un terzo punto (oltre ai due già indicati relaticvi all'intersezione coll'asse delle y ed al vertice) che consente di impostare il sistema di tre equazioni, nei tre coefficienti dell'equazione.
Invece, la considerazione che, in base alla simmetria, la parabola passa anche per il punto (10,3) è direttamente utilizzabile, perché fornisce un terzo punto (oltre ai due già indicati relaticvi all'intersezione coll'asse delle y ed al vertice) che consente di impostare il sistema di tre equazioni, nei tre coefficienti dell'equazione.
"kinder":
ormai non ricordo più bene, ma mi sa che quando si studiano le parabole non si abbia ancora idea degli integrali.
Invece, la considerazione che, in base alla simmetria, la parabola passa anche per il punto (10,3) è direttamente utilizzabile, perché fornisce un terzo punto (oltre ai due già indicati relaticvi all'intersezione coll'asse delle y ed al vertice) che consente di impostare il sistema di tre equazioni, nei tre coefficienti dell'equazione.
Si ma fare il sistema di Vandermonde non mi sembra la strada migliore!
Francesco Daddi
un sitema lineare di tre equazioni in tre incognite è sicuramente alla portata di uno studente che sta studiando geometria analitica (addirittura le coniche), già molto prima di derivate ed integrali. Tra l'altro non richiede di ricordarsi a memoria le coordinate del vertice di una parabola ad asse verticale. Forse si potrebbe richiedere che sia in grado di ricavarsele da solo, partendo dalla definizione di parabola. Ma, mi sembra che il nostro amico abbia denunciato chiaramente la sua scarsa dimestichezza colla materia.
"kinder":
un sitema lineare di tre equazioni in tre incognite è sicuramente alla portata di uno studente che sta studiando geometria analitica (addirittura le coniche), già molto prima di derivate ed integrali. Tra l'altro non richiede di ricordarsi a memoria le coordinate del vertice di una parabola ad asse verticale. Forse si potrebbe richiedere che sia in grado di ricavarsele da solo, partendo dalla definizione di parabola. Ma, mi sembra che il nostro amico abbia denunciato chiaramente la sua scarsa dimestichezza colla materia.
Ma uno non si dovrebbe mai ricordare le formule a mente, ci dovrebbe ragionare!
Altrimenti non ha più senso fare matematica, si fa solo addestramento..
E questa è una triste realtà sia nella scuola che nell'università: gli studenti imparano
a mente i procedimenti e quando dicono "ho capito", in realtà hanno appreso cosa devono
fare, meccanicamente, per risolvere gli esercizi.
Nel caso in questione, scrivendo
$y = a (x-5)^2 - 1$
uno dovrebbe accorgersi che, se ci mette $x=5$, resta -1; inoltre ogni valore di $x$
simmetrico rispetto a $x=5$ dà lo stesso risultato..
Non mi piace troppo ricordare $x_V = - \frac{b}{2a}$, la vedo come una formula poco elegante.
Francesco Daddi
"kinder":
un sitema lineare di tre equazioni in tre incognite è sicuramente alla portata di uno studente che sta studiando geometria analitica (addirittura le coniche), già molto prima di derivate ed integrali. Tra l'altro non richiede di ricordarsi a memoria le coordinate del vertice di una parabola ad asse verticale. Forse si potrebbe richiedere che sia in grado di ricavarsele da solo, partendo dalla definizione di parabola. Ma, mi sembra che il nostro amico abbia denunciato chiaramente la sua scarsa dimestichezza colla materia.
Poi tutto dipende da cosa vogliamo dallo studente.
Però il problema assegnato non andrebbe risolto con Vandermonde, è troppo lungo!
Tra le strade che uno può seguire è bene scegliere quella più corta, che porta
dritta alla soluzione.
Chiaramente sempre supponendo che uno sia consapevole delle formule che sta utilizzando..
Francesco Daddi
@franced
io non ho difficoltà ad ammettere di non sapermi più immedesimare nelle difficoltà che può trovare un ragazzo della scuola superiore, quindi tendo ad essere prudente su ciò che ci si può aspettare o pretendere da lui; però, mi sembra che anche tu sia piuttosto lontano. Credo che ciò che a te sembra banale, riguardo la possibilità di riconoscere la simmetria di $(x-5)^2$ rispetto a 5, richieda in realtà un colpo d'occhio reso possibile solo dalla dimestichezza con la materia.
Poi dici che le coordinate del vertice si trovano semplicemente col ragionamento. Certamente, se sai come impostarlo. Ma se ciò accade, vuol dire che hai capito queste cose, e molto probabilmente non stai seguendo un corso di recupero.
all'amico filosofo (Feuerbach):
conosci la definizione di parabola, e sai come ricavarti da questa l'equazione? Sai, poi, da ciò ricavarti le coordinate del vertice?
io non ho difficoltà ad ammettere di non sapermi più immedesimare nelle difficoltà che può trovare un ragazzo della scuola superiore, quindi tendo ad essere prudente su ciò che ci si può aspettare o pretendere da lui; però, mi sembra che anche tu sia piuttosto lontano. Credo che ciò che a te sembra banale, riguardo la possibilità di riconoscere la simmetria di $(x-5)^2$ rispetto a 5, richieda in realtà un colpo d'occhio reso possibile solo dalla dimestichezza con la materia.
Poi dici che le coordinate del vertice si trovano semplicemente col ragionamento. Certamente, se sai come impostarlo. Ma se ciò accade, vuol dire che hai capito queste cose, e molto probabilmente non stai seguendo un corso di recupero.
all'amico filosofo (Feuerbach):
conosci la definizione di parabola, e sai come ricavarti da questa l'equazione? Sai, poi, da ciò ricavarti le coordinate del vertice?
"kinder":
@franced
io non ho difficoltà ad ammettere di non sapermi più immedesimare nelle difficoltà che può trovare un ragazzo della scuola superiore, quindi tendo ad essere prudente su ciò che ci si può aspettare o pretendere da lui; però, mi sembra che anche tu sia piuttosto lontano. Credo che ciò che a te sembra banale, riguardo la possibilità di riconoscere la simmetria di $(x-5)^2$ rispetto a 5, richieda in realtà un colpo d'occhio reso possibile solo dalla dimestichezza con la materia.
Poi dici che le coordinate del vertice si trovano semplicemente col ragionamento. Certamente, se sai come impostarlo. Ma se ciò accade, vuol dire che hai capito queste cose, e molto probabilmente non stai seguendo un corso di recupero.
all'amico filosofo (Feuerbach):
conosci la definizione di parabola, e sai come ricavarti da questa l'equazione? Sai, poi, da ciò ricavarti le coordinate del vertice?
Mettendo dentro l'espressione $(x-5)^2$ due numeri simmetrici rispetto a $5$
(ad esempio $4,8$ e $5,2$, $4,3$ e $5,7$..) si trovano gli stessi risultati.
Spesso non si abitua i ragazza i mettere i numeri dentro le espressioni, è chiaro
che dopo non c'è il colpo d'occhio!
E' inutile, secondo me, insegnare le parabole se poi non si notano queste cose...
Francesco Daddi
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