Problema nel risolvere una disequazione goniometrica

[rossogiallo45]

Buonasera, non riesco a capire se ho risolto nel modo giusto una disequazione goniometria, spero di ricevere un qualche consiglio/aiuto.

$sqrt(cos2x)<=sinx-cosx$

prima di bloccarmi ho fatto qualche passaggio:

Ho posto $cos2x>=0$ e ho elevato i due membri della disequazione -> $-\pi/4<=x<=\pi/4$
$cos2x<=sin^2x+cos^2x-2sinxcosx$
$cos^2x-sin^2x<=cos^2x+sin^2x-2sinxcosx$ <-semplifico i due coseni
$-2sin^2x<=-2sinxcosx$
$sin^2x<=sinxcosx$

da qui cominciano i dubbi, non sono sicuro dei procedimenti...
$sinx<=(sinx-cosx)<=0$

lavoro sui due fattori:
1) $sinx>=0$ -> $0<=x<=\pi$
2) applico l'angolo aggiunto per risolvere $sinx-cosx>=0$
$sqrt(2)sin(x-\pi/4)>=0$ -> $\pi/4<=x<=(5\pi)/4$

studio del segno prendendo gli intervalli negativi (il segno della disequazione $<=$)
$0<=x<=\pi/4$ v $\pi<=x<=(5\pi)/4$


poi infine interseco con la condizione di esistenza iniziale ($cos2x>=0$)
e il risultato mi viene $0<=x<=\pi/4$




Secondo voi è giusto il risultato ottenuto da me?
Grazie in anticipo

[@melia]

Scusami ma non ho capito qual è il testo
quello che hai scritto $sqrt(sin2x)<=sinx-cosx$
oppure quello che hai svolto $sqrt(cos2x)<=sinx-cosx$?

In ogni caso si tratta di una disequazione irrazionale del tipo $sqrtA<=B$ che si risolve tramite il sistema
$\{(A>=0),(B>=0),(A<=B^2):}$
in attesa del testo corretto non posso aggiungere altro

[rossogiallo45]

scusa ho sbagliato completamente.
Il testo è $sqrt(cos2x)<=sinx-cosx$

una volta risolta come equazione irrazionale mi rimane comunque il problema di affrontare $A<=B^2$ (terzo punto del sistema) sai come posso andare avanti? grazie

[Dott_Khan]

Occhio che quando dividi per -2 devi invertire il senso della disuguaglianza.

[@melia]

$\{(A>=0),(B>=0),(A<=B^2):}$ diventa $\{(cos 2x>=0),(sinx-cosx>=0),(cos^2x-sin^2x <= sin^2x+cos^2x-2sinx cosx):}$

dalla prima disequazione ottieni $-pi/2 +2kpi<= 2x <=pi/2 +2kpi$ cioè $-pi/4 +kpi<= x <=pi/4 +kpi$,

dalla seconda disequazione $pi/4 +2kpi<=x<=5/4pi +2kpi$

dalla terza $2sinx cosx-2sin^2 x<=0$ che diventa $sinx(cosx-sinx)<=0$ moltiplicando per $-1$ perché il secondo fattore è l'opposto di uno già studiato $sinx(sinx-cosx)>=0$, il secondo fattore è positivo per la seconda disequazione, quindi resta da studiare la disequazione $sinx>=0$, verificata per $2kpi<=x<=pi+2kpi$, senza dimentica dove si annulla il secondo fattore per $x=pi/4+kpi$

Adesso non resta che risolvere il sistema

$\{(-pi/4 +kpi<= x <=pi/4 +kpi),(pi/4 +2kpi<=x<=5/4pi +2kpi),(2kpi<=x<=pi+2kpi vv x=pi/4+kpi):}$

quando riporti le soluzioni nel grafico ricorda che la prima ha un periodo che è la metà delle altre.

Il risultato finale è $3/4 pi +2kpi<=x<=pi+2kpi vv x=pi/4 +kpi$