Problema maturità 1985
ciao!!!
ho questo problema che non mi viene.
è della maturità del 1985
ho il dubbio su come costruire la figura, sulla lunghezza della corda. come faccio ad imporre area marrisma?
In una circonferenza di centro O e raggio unitario si conduca la corda AB tale
che, costruito il triangolo equilatero ABC da parte opposta di O rispetto ad
AB, l’area del quadrilatero ACBO risulti massima.
determinare oi per quali valori di AOB tale area è a rad3 + 2 fratto 2.
Si esprimano i valori che assumono la lunghezza della corda AB e l’ampiezza dell’angolo \AOB.
ho questo problema che non mi viene.
è della maturità del 1985
ho il dubbio su come costruire la figura, sulla lunghezza della corda. come faccio ad imporre area marrisma?
In una circonferenza di centro O e raggio unitario si conduca la corda AB tale
che, costruito il triangolo equilatero ABC da parte opposta di O rispetto ad
AB, l’area del quadrilatero ACBO risulti massima.
determinare oi per quali valori di AOB tale area è a rad3 + 2 fratto 2.
Si esprimano i valori che assumono la lunghezza della corda AB e l’ampiezza dell’angolo \AOB.
Risposte
Per la figura o meglio per la prima parte puoi trovare soluzione in questo documento pdf esercizio 06.
http://www.evaristogalois.it/02_MATEMAT5ICA/MATEMATICA_TRIENNIO/UNIT%C3%A0_DIDATTICA_28_ESTREMI_ASINTOTI_FLESSI_ESERCIZI_PROBLEMI_STUDIO_FUNZIONI.pdf
http://www.evaristogalois.it/02_MATEMAT5ICA/MATEMATICA_TRIENNIO/UNIT%C3%A0_DIDATTICA_28_ESTREMI_ASINTOTI_FLESSI_ESERCIZI_PROBLEMI_STUDIO_FUNZIONI.pdf
ok, il disegno lo avevo fatto bene....
però il problema nella soluzione chiamava l'angolo al centro 2x...
non posso usare la relazione lato triangolo equilatero = rRAD3?
però il problema nella soluzione chiamava l'angolo al centro 2x...
non posso usare la relazione lato triangolo equilatero = rRAD3?
Anch'io porrei l'angolo al centro 2x, dal momento che poi, grazie alla conoscenza del raggio=1 ovvero il lato del triangolo isoscele AOB, puoi calcolare meta' di AB come
Inoltre conosci l'altezza di AB
Attenta, perche' il triangolo equilatero ABC non e' inscritto nella circonferenza!
Il vertice C non tocca la circonferenza.
Quindi il triangolo equilatero (di lato AB) avra' l'altezza
La sua area dunque sara'
Per differenza dovresti ricavare l'area del quadrilatero, e quindi, derivare l'area in x e trovare il valore che annulla la derivata.
Sostituendo tale valore alla funzione originaria, troverai il valore dell'area massima.
Ora devo proprio andare, domani sera (se nessuno e' intervenuto) ti aiuto eventualmente a concludere l'esercizio, se dovessi avere altre difficolta'.
[math] \sin x [/math]
e dunque [math] AB=2 \sin x [/math]
Inoltre conosci l'altezza di AB
[math] \cos x [/math]
Attenta, perche' il triangolo equilatero ABC non e' inscritto nella circonferenza!
Il vertice C non tocca la circonferenza.
Quindi il triangolo equilatero (di lato AB) avra' l'altezza
[math] AB \sqrt3 [/math]
e quindi l'altezza [math] 2 \sin x \sqrt3 [/math]
La sua area dunque sara'
[math] \frac{ 2 \sin x \cdot 2 \sin x \sqrt3}{2} = 2 \sqrt3 \sin^2 x [/math]
Per differenza dovresti ricavare l'area del quadrilatero, e quindi, derivare l'area in x e trovare il valore che annulla la derivata.
Sostituendo tale valore alla funzione originaria, troverai il valore dell'area massima.
Ora devo proprio andare, domani sera (se nessuno e' intervenuto) ti aiuto eventualmente a concludere l'esercizio, se dovessi avere altre difficolta'.
derivate no!
è un problema per un liceo scientifico 4 anno.
cmq risolto... avevo fatto procedimento giusto, ma avevo scritto un angolo 2 volte... e quindi avevo un eccesso di seni e coseni!
grazie
ciao
Aggiunto 9 ore 45 minuti più tardi:
ciao!
allora, la prima parte l'ho risolta....
l'area di tutto il quadrilatero è
(è quello che viene al libro)
poi c'è la seconda parte che diceva:
"Determinare poi per quali valori di AOB tale area è
=
Si esprimano i valori che assumono la lunghezza della corda AB e l’ampiezza dell’angolo \AOB."
io ho posto la prima area che ho trovato uguale alla seconda, cioè
ho svolto i calcoli e mi viene
ma da qui non so andare avanti
è un problema per un liceo scientifico 4 anno.
cmq risolto... avevo fatto procedimento giusto, ma avevo scritto un angolo 2 volte... e quindi avevo un eccesso di seni e coseni!
grazie
ciao
Aggiunto 9 ore 45 minuti più tardi:
ciao!
allora, la prima parte l'ho risolta....
l'area di tutto il quadrilatero è
[math]sqrt 3 sen^2x + senx cosx[/math]
(è quello che viene al libro)
poi c'è la seconda parte che diceva:
"Determinare poi per quali valori di AOB tale area è
=
[math]\frac{sqrt 3 + 2}{2} [/math]
.Si esprimano i valori che assumono la lunghezza della corda AB e l’ampiezza dell’angolo \AOB."
io ho posto la prima area che ho trovato uguale alla seconda, cioè
[math]sqrt 3 sen^2x + senx cosx[/math]
= [math]\frac{sqrt 3 + 2}{2} [/math]
ho svolto i calcoli e mi viene
[math]2\sqrt3 sen^2x + 2senxcosx - sqrt3 - 2 [/math]
ma da qui non so andare avanti
dopo trovato l'area del quadrilatero devi fare la derivata rispetto a x e vedere dove si annulal la derivata sarà:
3^(1/2)*2sen^2x*cosx-cosx*senx
Aggiunto 14 secondi più tardi:
da qui devi vedere dove si annulla!
3^(1/2)*2sen^2x*cosx-cosx*senx
Aggiunto 14 secondi più tardi:
da qui devi vedere dove si annulla!
no, le derivate non le conosce....
è un problema per ragazzi del 4 liceo. quindi hanno fatto solo trigonometria semplice con problemi (nemmeno analisi funzioni trigonometriche, ma solo equazioni e disequazioni e problemi come questo) ed ora stanno iniziando logaritmi ed espodenziali, ma ancora a livello di trasformare l'uno nell'altro e nemmeno equazioni o disequazioni.
quindi trovo difficoltà a risolverlo al loro livello
Aggiunto 46 minuti più tardi:
è giusto il prcedimento che ho fatto per la seconda parte del problema?
e i calcoli?
perchè non so come andare avanti, ma lo si deve consegnare domani assolutamente
Aggiunto 3 ore 12 minuti più tardi:
please, per favore un aiuto, un consiglio....
mi domando se il cosx può essere trasformato in senx
ho provato ad applicare la relazione fondamentale della trigonometria
ma mi vado a complicare ulteriormente la vita...
mi viene un'equazione di 4 grado, le cui soluzioni non si avvicinano minimamente a quelle che dava il libro.
è un problema per ragazzi del 4 liceo. quindi hanno fatto solo trigonometria semplice con problemi (nemmeno analisi funzioni trigonometriche, ma solo equazioni e disequazioni e problemi come questo) ed ora stanno iniziando logaritmi ed espodenziali, ma ancora a livello di trasformare l'uno nell'altro e nemmeno equazioni o disequazioni.
quindi trovo difficoltà a risolverlo al loro livello
Aggiunto 46 minuti più tardi:
è giusto il prcedimento che ho fatto per la seconda parte del problema?
e i calcoli?
perchè non so come andare avanti, ma lo si deve consegnare domani assolutamente
Aggiunto 3 ore 12 minuti più tardi:
please, per favore un aiuto, un consiglio....
mi domando se il cosx può essere trasformato in senx
ho provato ad applicare la relazione fondamentale della trigonometria
[math] sen^2x + cos^2x = 1 [/math]
ma mi vado a complicare ulteriormente la vita...
mi viene un'equazione di 4 grado, le cui soluzioni non si avvicinano minimamente a quelle che dava il libro.
Prova a scrivere la soluzione del libro non sono molto bravo in queste cose ma posso arrivarci! ci sto provando!
allora... il libro mi da come risultati
angolo AOB =
AB =
angolo AOB =
[math]\frac{5}{6}\pi [/math]
AB =
[math]\frac {1}{2} (\sqrt{6}+\sqrt{2})[/math]
Partiamo dal presupposto che, a prescindere dalla soluzione del libro, la tua soluzione e' comunque sbagliata.
Il quadrilatero infatti e' la DIFFERENZA tra il triangolo equilatero e quello isoscele
Quindi
Da cui moltiplicando
E quindi
Ora d qui possiamo procedere in piu' modi.
A me e' venuto in mente questo.
Siccome in verita' noi stiamo cercando l'angolo AOB che e' 2x, ho provato a vedere se esisteva una relazione tra l'equazione e le formule di duplicazione..
Infatti ad esempio ho notato che
Poi proviamo a raccogliere
Qui ho notato che
Quindi
Dividi tutto per 2
Notiamo che i due coefficienti sono rispettivamente seno e coseno di
Quindi
Dunque per le formule di sottrazione
E quindi
Il quadrilatero infatti e' la DIFFERENZA tra il triangolo equilatero e quello isoscele
Quindi
[math] \sqrt3 \sin^2 x - \sin x \cos x = \frac{ \sqrt3 + 2}{2} [/math]
Da cui moltiplicando
[math] 2 \sqrt 3 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = \sqrt3 + 2 [/math]
E quindi
[math] 2 \sqrt3 \sin^2 - \sqrt3 - 2 \sin x \cos x -2 = 0 [/math]
Ora d qui possiamo procedere in piu' modi.
A me e' venuto in mente questo.
Siccome in verita' noi stiamo cercando l'angolo AOB che e' 2x, ho provato a vedere se esisteva una relazione tra l'equazione e le formule di duplicazione..
Infatti ad esempio ho notato che
[math] 2 \sin x \cos x = \sin (2x) [/math]
Poi proviamo a raccogliere
[math] \sqrt3 [/math]
parziale per i primi 2 monomi..[math] \sqrt3 (2 \sin^2 -1) - \sin 2x - 2 = 0[/math]
Qui ho notato che
[math] 1- \sin^2 x = \cos (2x) [/math]
Quindi
[math] - \sqrt3 \cos (2x) - \sin 2x -2 = 0[/math]
Dividi tutto per 2
[math] - \frac{ \sqrt3}{2} \cos 2x - \frac12 \sin 2x - 1 = 0 [/math]
Notiamo che i due coefficienti sono rispettivamente seno e coseno di
[math] \frac43 \pi [/math]
Quindi
[math] \sin \frac43 \pi \cos 2x - \cos \frac43 \pi \sin 2x = 1 [/math]
Dunque per le formule di sottrazione
[math] \sin ( \frac43 \pi - 2x) = \sin \frac{ \pi}{2} [/math]
[math] \frac43 \pi - 2x = \frac{\pi}{2} [/math]
E quindi
[math] 2x= \frac56 \pi [/math]
perchè la differenza?
alla fine i 2 triangoli hanno in comune un lato (la corda AB), sono limitrofi (passamelo, non mi viene altro termine), non uno dentro l'altro... la figura era giusta quella del link, quella del prob num.6.
Aggiunto 9 minuti più tardi:
mi sono persa al terzultimo passaggio....
si possono applicare anche con 2x?
il coseno di
Aggiunto 3 minuti più tardi:
poi per trovare AB, sostituisco l'x trovata al valore di prima?
alla fine i 2 triangoli hanno in comune un lato (la corda AB), sono limitrofi (passamelo, non mi viene altro termine), non uno dentro l'altro... la figura era giusta quella del link, quella del prob num.6.
Aggiunto 9 minuti più tardi:
mi sono persa al terzultimo passaggio....
si possono applicare anche con 2x?
il coseno di
[math]\frac{4}{3}\pi[/math]
è relativo a [math]\frac{1}{2}[/math]
o a [math]-\frac{1}{2}[/math]
?Aggiunto 3 minuti più tardi:
poi per trovare AB, sostituisco l'x trovata al valore di prima?
Hai ragione, ho fatto il disegno a rovescio..
Arrivo, ti posto la soluzione corretta.
Aggiunto 14 minuti più tardi:
Il procedimento e' analogo..
Parti da
con analoghe considerazioni alle precedenti arrivi ad avere
Dividi tutto per due
Da cui, guardando sulla circonferenza goniometrica, ricavi l'angolo che ha come seno
Quindi
Per le formule di addizione
e sapendo che
Quindi
Dimmi se e' chiaro.
Aggiunto 1 minuti più tardi:
2x e' langolo AOB.
Quindi l'angolo x sara'
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Quindi AB che era
Per trovare il seno di 5/12 pigreco dovrai utilizzare le formule di addizione (siamo a 75 gradi, che e' 45+30)
E quindi
Che moltiplicato per 2 dara'
Dovremmo aver finito
Arrivo, ti posto la soluzione corretta.
Aggiunto 14 minuti più tardi:
Il procedimento e' analogo..
Parti da
[math] \sqrt3 \sin^2 x + \sin x \cos x - \sqrt3 = 2 [/math]
con analoghe considerazioni alle precedenti arrivi ad avere
[math] - \sqrt3 \cos (2x) + \sin (2x) = 2 [/math]
Dividi tutto per due
[math] - \frac{ \sqrt3}{2} \cos (2x)+ \frac12 \sin (2x) = 1 [/math]
Da cui, guardando sulla circonferenza goniometrica, ricavi l'angolo che ha come seno
[math]- \frac{ \sqrt3}{2} [/math]
e come coseno [math] \frac12 [/math]
Quindi
[math] \sin (- \frac{ \pi}{3}) \cos (2x) + \cos (- \frac{ \pi}{3}) \sin (2x) = 1 [/math]
Per le formule di addizione
[math] \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta= \sin(\alpha + \beta) [/math]
e sapendo che
[math]1= \sin \frac{\pi}{2} [/math]
avrai[math] \sin ( - \frac{\pi}{3} + 2x) = \sin \frac{\pi}{2} [/math]
Quindi
[math] 2x=\frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{3}= \frac56 \pi [/math]
Dimmi se e' chiaro.
Aggiunto 1 minuti più tardi:
2x e' langolo AOB.
Quindi l'angolo x sara'
[math] \frac{5}{12} \pi [/math]
ovvero la sua meta'.Aggiunto 4 minuti più tardi:
Quindi AB che era
[math] 2 \sin x [/math]
sara' [math] 2 \sin \frac{5}{12} [/math]
Per trovare il seno di 5/12 pigreco dovrai utilizzare le formule di addizione (siamo a 75 gradi, che e' 45+30)
[math] \sin \frac{5}{12} \pi = \sin (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = [/math]
[math] \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{6} [/math]
E quindi
[math] \frac{ \sqrt2}{2} \frac{ \sqrt3}{2} + \frac{ \sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{ \sqrt6}{4}+ \frac{\sqrt2}{4} [/math]
Che moltiplicato per 2 dara'
[math] \bar{AB}= \frac{ \sqrt6 + \sqrt2}{2} [/math]
Dovremmo aver finito
ok, perfetto, grazie...
ma continuo a dire... poveri ragazzi!!!
se capitano 3 problemi così in 2 ore, uno come fa a fare tutti gli esercizi... ci vuole pure temo e sazio per scriverli!!!
grazie molte...
ciauz
ma continuo a dire... poveri ragazzi!!!
se capitano 3 problemi così in 2 ore, uno come fa a fare tutti gli esercizi... ci vuole pure temo e sazio per scriverli!!!
grazie molte...
ciauz
Se e' a posto, chiudi il 3d dando il voto alla risposta da te ritenuta migliore :D
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