Problema maturità 1979
Data la funzione $(4x^2+1)/(3x)$ se ne rappresenti il grafico. Preso un punto P sull'arco della curva che appartiene al primo quadrante, si conducano per esso le parallele agli asintoti che incontrano questi nei punti A e B rispettivamente e si determini la posizione di P per la quale è minima la somma dei segmenti PA e PB.
Dallo studio della funzione si deduce che l'asintoto obliquo ha equazione $y=4/3x$, mentre l'asintoto verticale è l'asse y. Il punto P ha coordinate $(x_P;(4x_P^2+1)/(3x_P))$; la retta passante per questo punto, parallela all'asintoto obliquo, ha equazione $y=4/3x-4/3x_P+(4x_P^2+1)/(3x_P)$ e incontra quindi l'asse y nel punto A di coordinate $(0;-4/3x_P+(4x_P^2+1)/(3x_P))$. La parallela all'asse y passante per P ha equazione $x=x_P$ e incontra l'asintoto obliquo nel punto B di coordinate $(x_P;4/3x_P)$. La somma PA+PB ha quindi equazione $(4x_P^2+1)/(3x_P)-4/3x_P+sqrt(x_P^2+16/9x_P^2)$, che risulta minima per $x_P=sqrt(5)/5$. È giusto? Mi interessa soprattutto l'impostazione (i calcoli li ho fatti fare al computer
ma il risultato mi sembra plausibile).
Dallo studio della funzione si deduce che l'asintoto obliquo ha equazione $y=4/3x$, mentre l'asintoto verticale è l'asse y. Il punto P ha coordinate $(x_P;(4x_P^2+1)/(3x_P))$; la retta passante per questo punto, parallela all'asintoto obliquo, ha equazione $y=4/3x-4/3x_P+(4x_P^2+1)/(3x_P)$ e incontra quindi l'asse y nel punto A di coordinate $(0;-4/3x_P+(4x_P^2+1)/(3x_P))$. La parallela all'asse y passante per P ha equazione $x=x_P$ e incontra l'asintoto obliquo nel punto B di coordinate $(x_P;4/3x_P)$. La somma PA+PB ha quindi equazione $(4x_P^2+1)/(3x_P)-4/3x_P+sqrt(x_P^2+16/9x_P^2)$, che risulta minima per $x_P=sqrt(5)/5$. È giusto? Mi interessa soprattutto l'impostazione (i calcoli li ho fatti fare al computer
ma il risultato mi sembra plausibile).
Risposte
Mi pare di sì.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo