Problema matematico
Vi allego un problema matematico che non so come affrontare, spero riusciate a darmi una mano e a schiarirmi le idee:
Una vasca ha la forma di un prisma retto disteso orizzontalmente con una sezione perpendicolare all'asse del prisma che è un esagono regolare di lato 1 metro. La lunghezza della vasca è di 12 metri. La vasca viene riempita di un liquido versato alla velocità di 1,2 decimentri cubici al secondo. Con che velocità cresce il livello del liquido nella vasca quando tale livello raggiunge (radice di 3)/2 metri?
Ringrazio anticipatamente chiunque possa aiutarmi.
Ciaooo!!
Una vasca ha la forma di un prisma retto disteso orizzontalmente con una sezione perpendicolare all'asse del prisma che è un esagono regolare di lato 1 metro. La lunghezza della vasca è di 12 metri. La vasca viene riempita di un liquido versato alla velocità di 1,2 decimentri cubici al secondo. Con che velocità cresce il livello del liquido nella vasca quando tale livello raggiunge (radice di 3)/2 metri?
Ringrazio anticipatamente chiunque possa aiutarmi.
Ciaooo!!
Risposte
Possiamo trovare una formula che esprima il volume V del liquido in funzione dell'altezza h.
Per ogni valore di h, minore della metà dell'altezza della vasca, la base di questo volume può essere calcolata come la somma di un rettangolo e di due triangoli. L'angolo indicato in figura può essere facilmente calcolato e risulta essere di 30°.
L'area del rettangolo è $A_r = l h$ mentre quella del triangolo è $A_t = (h^2tg30°)/2$.
Indicando con p la lunghezza della vasca si ha $V(h) = p (A_r + 2 A_t)$ ovvero
1) $V(h) = p h (l+h tg30°)$.
Sappiamo anche che il volume occupato dal liquido in funzione del tempo è
2) $V(t) = v t$
dove $v = 1,2 (dm^3)/s$.
Uguagliando le due espressioni e risolvendo rispetto ad h si ottiene $h = (- l p + sqrt(p(l^2 p + 4 tg30° v t)))/(2 p tg30°)$.
Derivando questa espressione rispetto al tempo otteniamo la velocità con cui varia h, ovvero la velocità con cui cresce il livello del liquido (questa velocità dipende dal tempo).
3) $(dh)/dt = v/sqrt(p(l^2 p + 4 tg30° v t))$.
Ora ti dovrebbe bastare calcolare il volume per $h = sqrt(3)/2 m$ dalla 1), il tempo necessario per riempire quel volume dalla 2) ed infine sostituire il valore ottenuto nella 3).
P.S: Ho notato solo ora che il valore richiesto è proprio la metà dell'altezza della vasca.
Per ogni valore di h, minore della metà dell'altezza della vasca, la base di questo volume può essere calcolata come la somma di un rettangolo e di due triangoli. L'angolo indicato in figura può essere facilmente calcolato e risulta essere di 30°.
L'area del rettangolo è $A_r = l h$ mentre quella del triangolo è $A_t = (h^2tg30°)/2$.
Indicando con p la lunghezza della vasca si ha $V(h) = p (A_r + 2 A_t)$ ovvero
1) $V(h) = p h (l+h tg30°)$.
Sappiamo anche che il volume occupato dal liquido in funzione del tempo è
2) $V(t) = v t$
dove $v = 1,2 (dm^3)/s$.
Uguagliando le due espressioni e risolvendo rispetto ad h si ottiene $h = (- l p + sqrt(p(l^2 p + 4 tg30° v t)))/(2 p tg30°)$.
Derivando questa espressione rispetto al tempo otteniamo la velocità con cui varia h, ovvero la velocità con cui cresce il livello del liquido (questa velocità dipende dal tempo).
3) $(dh)/dt = v/sqrt(p(l^2 p + 4 tg30° v t))$.
Ora ti dovrebbe bastare calcolare il volume per $h = sqrt(3)/2 m$ dalla 1), il tempo necessario per riempire quel volume dalla 2) ed infine sostituire il valore ottenuto nella 3).
P.S: Ho notato solo ora che il valore richiesto è proprio la metà dell'altezza della vasca.
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