Problema matematica con equazioni di secondo grado
problema di matematica con equazioni di secondo grado per favore
nel triangolo isoscele ABC il rapporto tra la base AB e l'altezza CH è 3/2 e il raggio del cerchio inscritto è 6 cm. calcola il perimetro e l'area di ABC. preso poi su AB un punto P tale che AP:PB=5:7, conduci da P le perpendicolari PE e PF ai lati AC e CB rispettivamente e prolungale fino a intersecare rispettivamente in K e S la parallela ad AB condotta per C. determina il perimetro e l'area del triangolo PKS
risultati(64 cm; 192 cm^2; 96 cm; 1024/3 cm^2)
Aggiunto 3 ore 18 minuti più tardi:
sì, grazie, sei molto chiaro, mi vengono giusti sia l'area che il perimetro di questa prima parte del problema
Aggiunto 14 ore 55 minuti più tardi:
grazie, ora ho capito, sei stato molto chiaro :hi
nel triangolo isoscele ABC il rapporto tra la base AB e l'altezza CH è 3/2 e il raggio del cerchio inscritto è 6 cm. calcola il perimetro e l'area di ABC. preso poi su AB un punto P tale che AP:PB=5:7, conduci da P le perpendicolari PE e PF ai lati AC e CB rispettivamente e prolungale fino a intersecare rispettivamente in K e S la parallela ad AB condotta per C. determina il perimetro e l'area del triangolo PKS
risultati(64 cm; 192 cm^2; 96 cm; 1024/3 cm^2)
Aggiunto 3 ore 18 minuti più tardi:
sì, grazie, sei molto chiaro, mi vengono giusti sia l'area che il perimetro di questa prima parte del problema
Aggiunto 14 ore 55 minuti più tardi:
grazie, ora ho capito, sei stato molto chiaro :hi
Risposte
Considera il triangolo AHC:
Dai dati del problema sai che:
AB:CH=3:2
Poni x=CH
Allora AB=3x/2
E quindi AH=AB/2=3x/4
Per Pitagora, il lato del triangolo (ipotenusa AC del triangolo AHC) sara' 5/4 x.
Considera ora i 3 raggi della circonferenza, che uniscono il centro ai punti di tangenza.
Sai che i raggi sono perpendicolari alla retta tangente e misurano 6.
Considera il raggio che unisce il centro con AC e chiama K il punto di tangenza.
Il triangolo CKO e' simile ad ACH. Infatti condividono un angolo (l'angolo KCO=ACH) e hanno un angolo retto.
Prova ora con le proporzioni a trovare x.
Ovvero AH (cateto) : AC (ipotenusa) = KO (cateto) : OC (ipotenusa)
Sai che AH=3/4x, CH=x, KO=6 , OC=x-6.
Trovato x, trovi l'altezza CH e la base AB.
Dimmi se fino a qui riesci.
Aggiunto 12 ore 52 minuti più tardi:
Per la seconda parte:
Oltre alle linee di costruzione imposte dal problema, traccia da P la perpendicolare ad AB (e quindi perpendicolare alla sua parallela passante per C) e chiama R il punto di intersezione con la parallela ad AB passante per C
Considera dunque i triangoli PAE e PFB. essi sono entrambi rettangoli ed hanno un angolo congruente (ovvero rispettivamente l'angolo in A e l'angolo in B dal momento che sono gli angoli alla base del triangolo isoscele). Inoltre sono simili ai due triangoli rettangoli iniziali (CHA e CHB) perche' con essi condividono un angolo (l'angolo alla base del triangolo isoscele) e sono rettangoli.
Ora considera i triangoli PSR e PKR.
Considera dunque le parallele AB e KS tagliate dalle trasversali PS e KP. Trattandosi di angoli alterni interni (rispettivamente di APE e BPF) questi angoli sono congruenti a quelli dei triangoli APE e PBF. E siccome gli angoli in R sono rettangoli, anche questi due triangoli sono simili tra di loro e simili ai triangoli AEP e PBF.
E pertanto per la proprieta' transitiva saranno simili ai triangoli AHC e AHB.
Detto questo siccome conosci tutti i lati dei triangoli AHC (e AHB), e di questi due triangoli conosci il cateto PR (che e' l'altezza dle triangolo ABC) puoi ricavare tutti i lati. (che poi se consideri gli angoli, noti che i due triangoli PRS e PKR sono congruenti perche' hanno gli stessi angoli e condividono un lato (RP). Quindi sara' sufficiente trovare i due lati mancanti (PK e KR, ad esempio) e raddoppiare poi KR per trovare la base. L'altezza PR e' nota (e' la stessa di CH). PK lo ricavi poi o con Pitagora, o sempre per similitudine.
Dai dati del problema sai che:
AB:CH=3:2
Poni x=CH
Allora AB=3x/2
E quindi AH=AB/2=3x/4
Per Pitagora, il lato del triangolo (ipotenusa AC del triangolo AHC) sara' 5/4 x.
Considera ora i 3 raggi della circonferenza, che uniscono il centro ai punti di tangenza.
Sai che i raggi sono perpendicolari alla retta tangente e misurano 6.
Considera il raggio che unisce il centro con AC e chiama K il punto di tangenza.
Il triangolo CKO e' simile ad ACH. Infatti condividono un angolo (l'angolo KCO=ACH) e hanno un angolo retto.
Prova ora con le proporzioni a trovare x.
Ovvero AH (cateto) : AC (ipotenusa) = KO (cateto) : OC (ipotenusa)
Sai che AH=3/4x, CH=x, KO=6 , OC=x-6.
Trovato x, trovi l'altezza CH e la base AB.
Dimmi se fino a qui riesci.
Aggiunto 12 ore 52 minuti più tardi:
Per la seconda parte:
Oltre alle linee di costruzione imposte dal problema, traccia da P la perpendicolare ad AB (e quindi perpendicolare alla sua parallela passante per C) e chiama R il punto di intersezione con la parallela ad AB passante per C
Considera dunque i triangoli PAE e PFB. essi sono entrambi rettangoli ed hanno un angolo congruente (ovvero rispettivamente l'angolo in A e l'angolo in B dal momento che sono gli angoli alla base del triangolo isoscele). Inoltre sono simili ai due triangoli rettangoli iniziali (CHA e CHB) perche' con essi condividono un angolo (l'angolo alla base del triangolo isoscele) e sono rettangoli.
Ora considera i triangoli PSR e PKR.
Considera dunque le parallele AB e KS tagliate dalle trasversali PS e KP. Trattandosi di angoli alterni interni (rispettivamente di APE e BPF) questi angoli sono congruenti a quelli dei triangoli APE e PBF. E siccome gli angoli in R sono rettangoli, anche questi due triangoli sono simili tra di loro e simili ai triangoli AEP e PBF.
E pertanto per la proprieta' transitiva saranno simili ai triangoli AHC e AHB.
Detto questo siccome conosci tutti i lati dei triangoli AHC (e AHB), e di questi due triangoli conosci il cateto PR (che e' l'altezza dle triangolo ABC) puoi ricavare tutti i lati. (che poi se consideri gli angoli, noti che i due triangoli PRS e PKR sono congruenti perche' hanno gli stessi angoli e condividono un lato (RP). Quindi sara' sufficiente trovare i due lati mancanti (PK e KR, ad esempio) e raddoppiare poi KR per trovare la base. L'altezza PR e' nota (e' la stessa di CH). PK lo ricavi poi o con Pitagora, o sempre per similitudine.
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