PrOblema matematica ://

[kekkolone93]

Siano a : a ( -2; 1) e c (4;3) gli estremi della diagonale di un rombo su vertici a,b,c,d sapendo che la misura della superficie del rombo è 80 determinare le coordinate del vertice d-b

[BIT5]

A parte che se "e' facile" non capisco perche' lo posti e non lo fai tu....

Comunque

La diagonale misura

[math] \bar{AC} = \sqrt{(-2-4)^2+(1-3)^2}= \sqrt{36+4}= \sqrt{40}=2 \sqrt{10} [/math]

Dal momento che la superficie del rombo e' 80, significa che l'altra diagonale sara':

[math] d= \frac{2A}{d_2} = \frac{160}{2 \sqrt{10}} = \frac{80}{\sqrt{10}}= \frac{80 \sqrt{10}}{10}= 8 \sqrt{10} [/math]

Pertanto meta' della diagonale sara'

[math] 4 \sqrt{10} [/math]

Le diagonali di un rombo si intersecano nel loro punto medio.

Il punto medio AC sara'

[math] x_M= \frac{-2+4}{2}=1 \\ \\ y_M= \frac{1+3}{2}=2 [/math]

Troviamo l'equazione della retta passante per i vertici AC

[math] \frac{y-y_A}{y_C-y_A}= \frac{x-x_A}{x_C-x_A} \to \frac{y-1}{3-1}= \frac{x--2}{4--2} \to \\ \\ \\ \to \frac{y-1}{2} = \frac{x+2}{6} \to 6y-6=2x+4 \to 6y=2x+4+6 \to y= \frac13x+ \frac53 [/math]

La perpendicolare avra' pendenza -3 e passera' per il punto medio (1,2) quindi

[math] 2=-3 \cdot 1 + q \to q=1+3 = 5 [/math]

La retta perpendicolare sara'

[math] y=- 3x + 5 [/math]

I punti giacenti sulla retta saranno tutti della forma

[math] P(x_P,- 3x_P+ 5 ) [/math]

La loro distanza dalla retta y=1/3x+5/3 (ovvero x-3y+5=0) sara'

[math] \frac{|ax_p+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = 4 \sqrt{10} [/math]

Dove a b e c sono i coefficienti della retta ax+by+c=0 e quindi a=1, b=-3, c=5)

E dunque

[math] \frac{|x_P-3(-3x_P + 5)+5|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}} = 4 \sqrt{10} [/math]

ovvero

[math] x_P+9x_P- 15+5 = \pm 4 \sqrt{10} \sqrt10 [/math]

Quindi

[math]10x_P-10= \pm (4 \cdot 10) [/math]

Quindi

[math] 10x_P-10=+40 \to 10x_P=50 \to x_P= 5 [/math]

E quindi siccome y=-3x+4 avremo

[math] y=-3 \cdot5 + 4 \to y= -15+4=-11 [/math]

E

[math] 10x_P-10=-40 \to 10x_P=-30 \to x_P=- 3 [/math]

Quindi

[math] y=-3x+4 \to y=-3 \cdot - 3 +4 \to y= 13 [/math]

I punti saranno dunque B ( 5,-11) e D(-3,13)

Comunque non era facile il problema, non ti pare?