Problema massimi e minimi

[FrancescaRomana3]

Dato i settore circolare AOB di raggio r con angolo al vertice AOB=45°, determinare sull'arco AB un punto M tale che, dette P e Q le proiezioni di M su OB e OA, risulti massimo il perimetro del triangolo PMQ. Verificare poi che il triangolo PMQ di perimetro massimo è anche quello di area massima.



Ho trovato facilmente MQ e MP, ma non riesco a trovare un modo semplice per esprimere PQ! Come posso fare?

[giammaria2]

Non vedo modi facili e consiglio di applicare Carnot al triangolo $OPQ$. Forse ho sbagliato qualche calcolo, perché ottengo un risultato strano, cioè $PQ=r/sqrt2$

[chiaraotta1]

Mi sembra che l'area del triangolo $PMQ$ si possa calcolare anche senza conoscere $PQ$.
Si può sottrarre all'area del quadrilatero $OPMQ$ quella del triangolo $OPQ$.
Allora, se $K$ è la proiezione di $P$ su $OA$, si ha
$S_(PMQ)=S_(OPM)+S_(OMQ)-S_(OPQ)=$
$1/2(OP*PM+OQ*QM-OQ*PK)=$
$1/2[rcos(alpha-x)*rsin(alpha-x)+rcos(x)*rsin(x)-rcos(x)*rcos(alpha-x)*sin(alpha)]=$
$1/2r^2[cos(alpha-x)*sin(alpha-x)+cos(x)*sin(x)-cos(x)*cos(alpha-x)*sin(alpha)]$

[theras]

@Gianmaria.
Prof il conto,per quel che conta,torna pure a me:
credo tutto nasca dal fatto,di verifica non immediata,che il circocentro del triangolo OPQ dista $r/2$ da O,
e se si riuscisse a dimostrar ciò,grazie al teorema dei seni applicato a tale triangolo,
s'avrebbe pure la deduzione "semplice" cui anelava l'op in merito all'espressione che lega la lunghezza di PQ all'angolo $x$..
Saluti dal web.

[FrancescaRomana3]

Grazie! Ho risolto. PQ valeva quanto dicevate voi!