Problema logaritmi ed esponenziali

[Renga91]

salve ragazzi,vi chiedo aiuto ! Non so se sono nella sezione giusta , male che vada chiedo ad un mod di spostarla

Lunedi ho recupero di matematica sulla verifica dei limiti.Quelli normali diciamo che sono capace , ma quando trovo un logaritmo o comunque una forma dove la x sta in forma esponenziale, mi fermo.

ho questi esercizi che non riesco a fare :

questo è il primo
$lim(x-> $+oo$)$ $(1/2)^(1/X)$ = 1

questo è il secondo
$lim(x-> $+oo$)$ $log_(1/2)$$1/x$ = $+oo$

questo è il terzo
$lim(x-> $1$)$ $1/lnx$ = $oo$

questo è il quarto
$lim(x-> $+oo$)$ $2^- sqrt(x)$ = 0

questo è il quinto
$lim(x-> $oo$)$ $log_(3)(1/x^2)$ = $-oo$

questo è il sesto
$lim(x-> $3$)$ $1/ln(x-2)$ = $oo$

ed ecco a voi l'ultimo
$lim(x-> $0$)$ $e^(x^2-x)$ = $1$

ragazzi , questi sono quelli dove vado più in difficolta .. cioe non riesco proprio a farli giusti !:) se riuscite a farli sarei molto grato

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Per poter risolvere questi limiti senza problemi, devi conoscere dettagliatamente gli andamenti grafici della funzione logaritmica e della funzione esponenziale, sia nel caso di base maggiore di 1 che nel caso di base compresa tra 0 e 1.

Prima devi aver chiaro ciò, altrimenti avrai serie difficoltà con il calcolo di quei limiti.

Ho indovinato, circa la causa del problema, oppure mi sono sbagliato?

Saluti.

[Renga91]

non saprei .. penso tu ti sia confuso con il calcolo dei limiti e l'uso dei relativi prodotti notevoli ... io in questi esercizi devo fare la verifica dei limiti.. cioe mi devo ricavare il valore x

[Sk_Anonymous]

Scusami, avevo creduto che dovessi calcolare quei limiti, mentre invece dovresti "semplicemente" verificarne l'eventuale veridicità.

Ad ogni modo continua ad essere valido il suggerimento che ti davo.
Inoltre (ma qui scriverò un'ovvietà) devi conoscere molto bene il concetto stesso di limite, tenendo conto di tutte le casistiche possibili, a seconda dei valori a cui tendono x e lo stesso limite.

Saluti.

[mazzarri1]

ciao Renga guardiamone qualcuno assieme

1) se la x va ad infinito allora 1/x va a zero e qualunque numero elevato a zero fa 1

2) se la x va ad infinito allora 1/x va a zero e il logaritmo CON BASE MINORE DI 1 vicino allo zero (positivo) va a più infinito... come ti diceva Alessandro devi conoscere il grafico del logaritmo bene... ti consiglio di cercare in rete dei grafici delle funzioni
$logx$
$log_(1/2) x$
$5^x$
$(1/2)^x$
e di studiarteli bene graficamente per vedere che cosa succede quando x tende a certi valori

3) se la x tende a 1 il logaritmo di x tende a zero, il suo inverso tenderà ad infinito

4) $2^(-sqrtx)=1/(2^sqrtx)$ e se la x va infinito vedrai che il limite tende a zero

5) simile al secondo MA la base del logaritmo è MAGGIORE DI 1... ti dico vatti a vedere il grafico... se x va ad infinito allora 1/x va a zero (positivo) e il logaritmo in prossimità dello zero va a MENO infinito

6) simile al precedente, direi immediato, se x tende a 3 allora viene logaritmo di 1 che tende a zero e il suo inverso va a infinito

7) verrebbe sostituendo banalmente $e^0$ cioè 1 (come il primo esercizio)

hai capito tutto?? COme Alessandro ti straconsiglio di guardarti quei grafici e di studiarteli, ti serviranno tutta la vita ciao!!

[Renga91]

grazie ragazzi , forse mi sono spiegato male . Io in questi esercizi non devo calcolare il limite , sostituendo semplicemente , ma devo fare la VERIFICA dei limiti. Il mio problema c'è quando trovo i logaritmi che non so come portarli ad una forma normale diciamo .. per trovarmi la x . vi allego la foto spero di essere riuscito a spiegarmi

[Sk_Anonymous]

Allora confermo ciò che avevo scritto nel mio ultimo messaggio.

Saluti.

[Renga91]

grazie ragazzi ma cmq non so come comportarmi , ho in mente il grafico dell'esponenziale e del logaritmo, ho chiaro il concetto di limite , ma quando trovo un logaritmo o un esponenziale mi blocco. Forse il mio è un problema di applicare le regole di log e esponenziali .

[Sk_Anonymous]

Oltre a quello che avevo precedentemente affermato, aggiungo che è necessario anche saper gestire le disequazioni esponenziali e logaritmiche, per risolvere problemi di quel tipo.

Saluti.

[Renga91]

infatti e quello il mio problema .. per esempio se trovo in una disequazione la x con il logaritmo non so ricavarmela .. stessa cosa per gli esponenziali.. riuscireste farmi un po di chiarezza ? su internet trovo procedimenti discordanti. Il compito ce l'ho domani

[@melia]

"renga91":
questo è il quinto
$lim_(x-> oo) log_(3)(1/x^2) = -oo$

Provo ad aiutarti con questo.
Per verificare il limite devo risolvere la disequazione $log_(3)(1/x^2) < -M$ scriverla così o $log_(3)(1/x^2) < -M*1$ è la stessa cosa, ma posso trasformare 1 in $log_3 3$, in pratica devo riuscire ad arrivare ad una cosa tipo $log_a f(x) < log_a g(x)$

$log_(3)(1/x^2) < -M*log_3 3$ applico il teorema sui logaritmi che mi permette di portare il fattore esterno ad esponente

$log_(3)(1/x^2) < log_3 3^(-M)$ adesso siccome il $log_3$ è una funzione crescente posso togliere il logaritmo senza avere problemi con il segno di disuguaglianza, dovrei solo controllare che gli argomenti siano tutti positivi per le condizioni di esistenza, che in questo caso sono comunque verificate.

$1/x^2 < 1/ 3^M$ siccome tutti i termini presenti sono positivi, ma solo per questo, posso risolvere l'esercizio con una scorciatoia, facendo il reciproco di entrambi i membri, in questo caso però si inverte la disuguaglianza perché il reciproco è una funzione decrescente. E devo anche porre $x!=0$ per l'esistenza della prima frazione

$x^2>3^M$ con $x!=0$ questa è una disequazione di secondo grado verificata per valori esterni alle soluzioni: $x_(1,2) = +- sqrt(3^M)$ o, se preferisci $x_(1,2) = +- 3^(M/2)$ perciò
$x<-3^(M/2) vv x> 3^(M/2)$ che è l'intorno di $oo$ cercato.

[Renga91]

Ragazzi vi chiedo aiuto.. Sono in panico non sono ancora capace di farli :( domani ho il compito di recuperoooo

[@melia]

Ma hai letto la mia risposta?

[Renga91]

siii! grazie intanto .. questo ero quasi riuscito a farlo da solo avevo sbagliato una schiocchezza ..adesso te ne metto uno con l'esponenziale che è quello che mi da più problemi lim(x→+oo)$ 2^-sqrt(x)$ = 0

quelli con i log li ho capiti circa .. ma gli esponenziali non mi entrano

[@melia]

"renga91": $lim(_x→+oo) 2^-sqrt(x) = 0$

Qui dobbiamo risolvere una disequazione $|2^-sqrt(x) |< epsilon$, cioè $-epsilon< 2^-sqrt(x) < epsilon$ ovvero
$\{(2^-sqrt(x) > - epsilon),(2^-sqrt(x) < epsilon):}$
la prima disequazione è sempre verificata, quando esiste cioè per $x>=0$, resta $2^-sqrt(x) < epsilon$ dove i due membri sono entrambi positivi, perciç è possibile passare al logaritmo in base 2 entrambi i membri, ti ricordo che il $log_2$ è una funzione crescente, quindi non cambia il verso della disuguaglianza

$log_2 2^-sqrt(x) < log_2 epsilon$ che diventa
$-sqrt(x) < log_2 epsilon$ cioè
$sqrt(x) > - log_2 epsilon$
$sqrt(x) > log_2 (1/epsilon)$ dove $epsilon>0$ se $epsilon$ fosse anche maggiore di 1 la disequazione sarebbe sempre verificataperché $sqrtx$ non è mai negativo mentre $log_2 (1/epsilon)$ lo sarebbe sempre, ma la verifica di limite chiede che $epsilon$ sia piccolo a piacere, quindi possiamo porre $00$, siccome i due membri hanno lo stesso segno è possibile elevarli al quadrato mantenendo il segno della disuguaglianza

$(sqrt(x))^2 > (log_2 (1/epsilon))^2$ diventa $x>(log_2 (1/epsilon))^2$ che è l'intorno di $+oo$ cercato.

[@melia]

Veramente la soluzione finale poteva essere scritta un po' meglio
$x>(log_2 (1/epsilon))^2 => x> (-log_2 epsilon)^2 => x> log_2 ^2 epsilon$

[Renga91]

Grazieeeeee

[Renga91]

per vostra felicità ne ho un altro da darvi .. poi ho finito sul serio

lim(x→0) $e^(x^2−x)$ = 1

se riusciste a farmelo mi fareste un gradissssimo favore

[@melia]

$lim_(x→0) e^(x^2−x)= 1$

qui la disequazione è $| e^(x^2−x)- 1| - epsilon),(e^(x^2−x)- 1 < epsilon):}

la prima disequazione diventa $e^(x^2−x) > 1- epsilon$ passando al logaritmo naturale $x^2-x-ln(1-epsilon)>0$ con la condizione aggiunta $0
Non ho tempo di postare tutti i calcoli ora, che sono assai indigesti, dovresti ottenere i due intervalli
$(1-sqrt(1+4ln(1+epsilon)))/2 $(1+sqrt(1+4ln(1-epsilon)))/2

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[Renga91]

ciao ragazzi vi scrivo solo che oggi ho fatto il compito ed è andato abbastanza bene quindi vi ringrazio tutti