Problema limite con de l'hopital

[kekko989]

Data la funzione $f(x)=(2x+cosx)/x$ verificare che tale limite non può essere verificato con la regola di de l'Hopital. Quale ipotesi viene a mancare.?

Allora..la funzione è continua sempre, apparte in x=0, però nell'intorno di x=0 la funzione è continua e derivabile. La sua derivata prima vale $(cosx-senx)/x^2$ e quindi esiste. g'(x) è diverso da 0 per ogni x appartenente all'intorno di 0,escluso 0 stesso. E entrambi i limiti di $2x+cosx$ e $x$ , quando x tende ad infinito,tendono a infinito. Quindi in teoria si può applicare de l'Hopital. Cosa sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Il limite della funzione in 0 non è in forma indeterminata, ma una forma $1/0$, quindi non ha senso procedere
L'Hopital si può applicare solo alle forme indeterminate $0/0$ o $oo/oo$

[kekko989]

si,ma io devo cercare il limite della funzione per X che tende a infinito, no x che tende a 0. e quindi viene infinito su infinito,no?

[Sk_Anonymous]

Scusa non avevo letto bene il testo
A $oo$ le ipotesi iniziali di Hopital sono valide, ma solo fino ad un certo punto, devi considerare la funzione come rapporto quindi $f(x)=(2x+cosx)/x$ deve essere considerata come rapporto tra una funzione $h(x)= 2x+cosx$ e una funzione $g(x)=x$,
il $lim_(x->oo) (h(x))/(g(x))=lim_(x->oo)(h'(x))/(g'(x))=lim_(x->oo) (2-sinx)/1$ e questo limite non esiste, quindi manca l'ultima ipotesi dell'Hopital, quella che chiede l'esistenza del $lim_(x->oo)(h'(x))/(g'(x))$.

[kekko989]

scusa..perchè il $\lim_{x \to \infty}(2-senx)/1$ non esiste.?? il seno può variare da -1 a +1.. quindi il risultato può variare da -1 a 3..

[nox89]

Appunto proprio perchè il seno varia fra -1 e +1 non c'è un valore esatto a cui tende. Periodicamente continua a ripetersi e all'infinito non puoi sapere se seno tenda a +1 p -1

[kekko989]

ok grazie mille!!