Problema: Lavorare su funzione (massimi e minimi)

[scratch17]

Considerare la funzione di equazione

[math]f(x)=\frac{kx-5}{x^2-1}[/math]

con k diverso da 5.

-Per quali valori di k la funzione f(x) ha sia un massimo relativo sia un minimo relativo?
-Determinare k in modo che f(x) abbia un minimo relativo per
[math]x=-\frac{1}{2}[/math]
e tracciare quindi il grafico della funzione così determinata
-Determinare k in modo che f(x) abbia un estremo relativo per
[math]x=2[/math]
e tracciare quindi il grafico della funzione così determinata
-Calcolare la misura dell'area della regione limitata di piano compresa tra i grafici delle funzioni così determinate ai punti b) e c) e le rette di equazione
[math]x=2[/math]
e
[math]x=3[/math]

[BIT5]

a) affinche' la funzione abbia massimo e minimo relativo, la sua derivata prima dovra' avere due valore di x che ne annulli il valore.

La derivata della funzione e':

[math] f'(x)= \frac{k(x^2-1)-2x(kx-5)}{(x^2-1)^2}= \frac{kx^2-k-2kx^2+10x}{(x^2-1)^2} [/math]

Il denominatore e' sempre positivo;

Il numeratore sara' maggiore di zero per:

[math] -kx^2+10x-k>0 \to kx^2-10x+k0) e avra' un minimo in

[math] \frac{5- \sqrt{25-k^2}}{k} [/math]

e un massimo in

[math] \frac{5+ \sqrt{25-k^2}}{k} [/math]

Se k0 \to -5