Problema iperbole equilatera/ circonferenza
Abbiamo un'iperbole r: y=1+x/1-x
a) Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera s avente per asindoti gli assi di simmetria di r e passante per il punto di coordinate (2;1)
Non ho capito cosa intenda dicendo "avente per asindoti gli assi di simmetria di r" ho provato a farlo e rifarlo ma niente
Risultato: (x-1)^2-(y+1)^2=-3
b) Scrivi l'equazione della circonferenza di centro C tangente a r.
c) Verifica che r è il luogo dei punti P del piano per cui radq(2PH)=PF, essendo H la proiezione di P sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante ed F(-1;1)
Se mi potete aiutare a svolgere questo punti magari con una spiegazione ve ne sarei grato
a) Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera s avente per asindoti gli assi di simmetria di r e passante per il punto di coordinate (2;1)
Non ho capito cosa intenda dicendo "avente per asindoti gli assi di simmetria di r" ho provato a farlo e rifarlo ma niente
Risultato: (x-1)^2-(y+1)^2=-3
b) Scrivi l'equazione della circonferenza di centro C tangente a r.
c) Verifica che r è il luogo dei punti P del piano per cui radq(2PH)=PF, essendo H la proiezione di P sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante ed F(-1;1)
Se mi potete aiutare a svolgere questo punti magari con una spiegazione ve ne sarei grato
Risposte
Ti do il benvenuto nel forum. Per avere formule ben scritte metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine; per le frazioni, scrivi numeratore e denominatore fra parentesi tonde (inutili se sono semplicissimi).
Se ben capisco, l'iperbole r ha equazione
$y=(1+x)/(1-x)$
e cliccando su CITA vedrai cosa ho digitato.
La prima cosa da fare è esaminare questa iperbole. Data la funzione omografica
$y=(ax+b)/(cx+d)$
come si trovano centro, asintoti ed assi di simmetria? Qual è la risposta nel tuo caso?
Dopo di questo potrai passare all'iperbole equilatera s, ma un passo per volta.
Se ben capisco, l'iperbole r ha equazione
$y=(1+x)/(1-x)$
e cliccando su CITA vedrai cosa ho digitato.
La prima cosa da fare è esaminare questa iperbole. Data la funzione omografica
$y=(ax+b)/(cx+d)$
come si trovano centro, asintoti ed assi di simmetria? Qual è la risposta nel tuo caso?
Dopo di questo potrai passare all'iperbole equilatera s, ma un passo per volta.
Si allora il centro si trova $C(-d/c; a/c)$ $y=a/c$ e $x=-d/c$
$C(-1;-1)$ x=-1 y=-1
"e cliccando su CITA vedrai cosa ho digitato."
Ok capito
$C(-1;-1)$ x=-1 y=-1
"e cliccando su CITA vedrai cosa ho digitato."
Ok capito
Ciao, dunque per prima cosa attenzione con i calcoli perchè $-d/c = 1$.
Poi: una iperbole equilatera ha questa forma \[\left(x-x_c\right)^2-\left(y-y_c\right)^2 = a^2\] A questo punto dobbiamo determinare il centro della curva e il parametro $a$. Il centro sarà proprio il punto $C(1, -1)$ mentre $a$ si trova andando a sostituire le coordinate del punto di passaggio $(2, 1)$.
Poi: una iperbole equilatera ha questa forma \[\left(x-x_c\right)^2-\left(y-y_c\right)^2 = a^2\] A questo punto dobbiamo determinare il centro della curva e il parametro $a$. Il centro sarà proprio il punto $C(1, -1)$ mentre $a$ si trova andando a sostituire le coordinate del punto di passaggio $(2, 1)$.
Vero... maledetta la mia sbadataggine .. Comunque ora si
$(x-xc)$ e $(y-yc)$ non ci sarei mai arrivato e neanche la sapevo credo
Però k o $a^2$ dovrebbe ridare -3 e invece mi ridà 3
$(x-xc)$ e $(y-yc)$ non ci sarei mai arrivato e neanche la sapevo credo
Però k o $a^2$ dovrebbe ridare -3 e invece mi ridà 3
Perchè? Andiamo a sostituire: \[a^2 = (2-1)^2 - (1+1)^2 = 1-4 = -3\] 
Ma ma ma dai... Si ora ho capito molto bene questo concetto. Grazie tanto mi aiuteresti a risolvere il penultimo e se puoi anche l'ultimo ? Ci sto provando e riprovando ma arrivo a un equazione troppo complessa e credo che sia anche sbagliata..
Vediamo ora il punto (b). La generica circonferenza di centro \(C\left(1, -1\right)\) e raggio $r$ ha equazione \[\left(x-1\right)^2 + \left(y+1\right)^2 = r^2\] Cosa significa che due curve sono tangenti? Che hanno un solo punto in comune [nota]In realtà questo non è corretto ma per il nostro problema è sufficiente[/nota]. Quindi mettiamo a sistema le due curve e imponiamo che la soluzione sia unica: \[
\begin{cases}
(x-1)^2-(y+1)^2 = -3\\(x-1)^2+(y+1)^2 = r^2
\end{cases}
\] Utilizziamo la somma membro-a-membro e otteniamo \[2(x-1)^2 = r^2-3\] Imponiamo $\Delta = 0$ e arriviamo a stabilire \[r^2 = 3\] Concludiamo quindi che la circonferenza cercata è \[\left(x-1\right)^2 + \left(y+1\right)^2 = 3\] La stessa soluzione si poteva trovare in modo molto più intuitivo anche andando a ragionare direttamente sul grafico, del quale posto una immagine per maggiore chiarezza.
\begin{cases}
(x-1)^2-(y+1)^2 = -3\\(x-1)^2+(y+1)^2 = r^2
\end{cases}
\] Utilizziamo la somma membro-a-membro e otteniamo \[2(x-1)^2 = r^2-3\] Imponiamo $\Delta = 0$ e arriviamo a stabilire \[r^2 = 3\] Concludiamo quindi che la circonferenza cercata è \[\left(x-1\right)^2 + \left(y+1\right)^2 = 3\] La stessa soluzione si poteva trovare in modo molto più intuitivo anche andando a ragionare direttamente sul grafico, del quale posto una immagine per maggiore chiarezza.
La circonferenza è tangente alla retta s (mi sono imbrogliato a scrivere e chiedo scusa..) $y=(1+x)/(1-x)$
E scusa ma l'equazione della circonferenza non è $x^2+y^2+ax+by+c=0$ ?
E scusa ma l'equazione della circonferenza non è $x^2+y^2+ax+by+c=0$ ?
Sì quella è la generica equazione di una circonferenza una volta che sono stati svolti i calcoli. Quella che ti ho postato è una formula molto comoda che fornisce l'equazione di una circonferenza, noti il centro e il raggio.
Cosa vuol dire
Cosa vuol dire
"daniel960":? Quella equazione rappresenta una iperbole, non una retta...
La circonferenza è tangente alla retta s $ y=(1+x)/(1-x) $
No niente mhmmm oggi sto fuso..
Allora riscrivo il testo .. XD
-Traccia il grafico dell'iperbole y(ipsilon) di equazione $y=1+x/1-x$ .. ecc ecc e questo lho fatto
b) Scrivi l'equazione della circonferenza di centro C tangente a y(ipsilon)
Allora riscrivo il testo .. XD
-Traccia il grafico dell'iperbole y(ipsilon) di equazione $y=1+x/1-x$ .. ecc ecc e questo lho fatto
b) Scrivi l'equazione della circonferenza di centro C tangente a y(ipsilon)
"daniel960":
No niente mhmmm oggi sto fuso..
Allora riscrivo il testo .. XD
-Traccia il grafico dell'iperbole y(ipsilon) di equazione $y=1+x/1-x$
Immagino che l'iperbole fosse $y=(1+x)/(1-x)$...
Il tempo di scriverlo e ti posto il procedimento.
Ripartiamo da capo con il punto (b). E' data l'iperbole \[y = \frac{1+x}{1-x}\] di centro \(C\left(1, -1\right)\) e si vuole scrivere la circonferenza di centro $C$ e tangente all'iperbole.
Come detto la generica circonferenza di centro $C$ ha equazione \[\left(x-1\right)^2 + \left(y+1\right)^2 = r^2\] Metto questa equazione a sistema con quella dell'iperbole e impongo che la soluzione sia unica (beh non proprio unica, comunque vedremo...) \[\begin{cases}
y = \frac{1+x}{1-x}\\\left(x-1\right)^2 + \left(y+1\right)^2 = r^2
\end{cases}\] \[
\left(x-1\right)^2 + \left(\frac{1+x}{1-x}+1\right)^2 = r^2
\]\[
\left(x-1\right)^2 + \left(\frac{1+\cancel{x}+1-\cancel{x}}{1-x}\right)^2 = r^2
\] \[
\left(x-1\right)^2 + \frac{4}{\left(x-1\right)^2} = r^2
\] Pongo \(\left(x-1\right)^2 = t\) \[
t^2 + 4 = r^2 t \quad\Longrightarrow\quad t^2-r^2 t + 4=0
\] Impongo $\Delta = 0$ \[r^4 -16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 4\] In conclusione la circonferenza che stavamo cercando è \[\left(x-1\right)^2 + \left(y+1\right)^2 = 4\]
Come prima posto un grafico delle due curve.
Come detto la generica circonferenza di centro $C$ ha equazione \[\left(x-1\right)^2 + \left(y+1\right)^2 = r^2\] Metto questa equazione a sistema con quella dell'iperbole e impongo che la soluzione sia unica (beh non proprio unica, comunque vedremo...) \[\begin{cases}
y = \frac{1+x}{1-x}\\\left(x-1\right)^2 + \left(y+1\right)^2 = r^2
\end{cases}\] \[
\left(x-1\right)^2 + \left(\frac{1+x}{1-x}+1\right)^2 = r^2
\]\[
\left(x-1\right)^2 + \left(\frac{1+\cancel{x}+1-\cancel{x}}{1-x}\right)^2 = r^2
\] \[
\left(x-1\right)^2 + \frac{4}{\left(x-1\right)^2} = r^2
\] Pongo \(\left(x-1\right)^2 = t\) \[
t^2 + 4 = r^2 t \quad\Longrightarrow\quad t^2-r^2 t + 4=0
\] Impongo $\Delta = 0$ \[r^4 -16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 4\] In conclusione la circonferenza che stavamo cercando è \[\left(x-1\right)^2 + \left(y+1\right)^2 = 4\]
Come prima posto un grafico delle due curve.
Ok perfetto capito il ragionamento ponendo la circonferenza in questo modo è più semplice risolverla 
Perfetto. Ora se riscrivi bene il testo del punto (c) diamo un'occhiata anche a quello!
Si ok
c) Verifica che y(ipsilon) è il luogo dei punti P del piano per cui $radq2$PH=PF , essendo H la preiezione di P sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante ed F(-1;1)
c) Verifica che y(ipsilon) è il luogo dei punti P del piano per cui $radq2$PH=PF , essendo H la preiezione di P sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante ed F(-1;1)
"daniel960":
$radq2$PH=PF
Prima di fare dei papiri di calcoli...
Intendi \[\sqrt{2 \overline{PH}}\] oppure \[\sqrt{\overline{PH}}\] ? E' quel $2$ che non capisco dove vada...
Sbagliate entrambi XD C'è solo il 2 sotto radice
Ah quindi \[\overline{PH}\sqrt{2}\] ? Qui ci vuole la palla di cristallo...
Si XD radice di 2 x(PH) XD Tempo di imparare a usare bene il forum e non ti faro perdere la pazienza in questo modo XD
Ed eccoci con il punto (c). La distanza \(\overline{PH}\) non è altro che la distanza di $P$ dalla retta $y=x$. Sfruttiamo la "famosa" formula della distanza punto-retta \[d = \frac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\] e troviamo \[\overline{PH} = \frac{\left|x-y\right|}{\sqrt{2}}\] Invece sfruttando la formula della distanza punto-punto si trova subito \[\overline{PF} = \sqrt{\left(x+1\right)^2 + \left(y-1\right)^2}\] Pongo \[\overline{PH}\sqrt{2} = \overline{PF}\] e ottengo \[\left|x-y\right| = \sqrt{\left(x+1\right)^2 + \left(y-1\right)^2}\] Elevo al quadrato entrambi i membri \[\cancel{x^2} + \cancel{y^2} - 2xy = \cancel{x^2} + 2x + 1 + \cancel{y^2} - 2y + 1\] \[2x - 2y + 2 + 2xy = 0\] \[x - y + 1 + xy = 0\] Esplicitando la $y$ si ottiene \[y = \frac{x+1}{1-x}\] cioè l'iperbole di partenza.
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