Problema Iperbole equilatera
Buongiorno.
Vorrei capire come impostare la risoluzione di questo problema.
Individuare l'equazione dell'iperbole equilatera che ha F (2;1) come centro di simmetria, asintoti paralleli agli assi cartesiani e passa per il punto B (3,1).
Mi sembra di capire che si tratta di una funziona omografica, ma quando imposto il sistema riesco ad individuare solo tre condizioni e non quattro. C'è un approccio più semplice?
Grazie per l'aiuto.
Raffaele
Vorrei capire come impostare la risoluzione di questo problema.
Individuare l'equazione dell'iperbole equilatera che ha F (2;1) come centro di simmetria, asintoti paralleli agli assi cartesiani e passa per il punto B (3,1).
Mi sembra di capire che si tratta di una funziona omografica, ma quando imposto il sistema riesco ad individuare solo tre condizioni e non quattro. C'è un approccio più semplice?
Grazie per l'aiuto.
Raffaele
Risposte
Ciao @RRaffaele1965 !
Noto che questo è il tuo primo messaggio, per cui ti do il benvenuto sul forum !
Venendo al tuo problema, come hai notato, cercando quattro parametri (a, b, c, e d della funzione omografica), ti occorrono 4 condizioni. In realtà le hai già. Oltre alle 3 da te citate, puoi dedurre la quarta imponendo il passaggio dell'iperbole per il punto simmetrico a B rispetto al centro. In questo modo ricavi la quarta condizione e, risolvendo il sistema, trovi la tua iperbole omografica.
Spero sia chiaro. Non ti ho scritto i passaggi per intero, ti ho dato l'input, ma se hai problemi non esitare a chiedere e ti scrivo tutto.
Saluti
Noto che questo è il tuo primo messaggio, per cui ti do il benvenuto sul forum !
Venendo al tuo problema, come hai notato, cercando quattro parametri (a, b, c, e d della funzione omografica), ti occorrono 4 condizioni. In realtà le hai già. Oltre alle 3 da te citate, puoi dedurre la quarta imponendo il passaggio dell'iperbole per il punto simmetrico a B rispetto al centro. In questo modo ricavi la quarta condizione e, risolvendo il sistema, trovi la tua iperbole omografica.
Spero sia chiaro. Non ti ho scritto i passaggi per intero, ti ho dato l'input, ma se hai problemi non esitare a chiedere e ti scrivo tutto.
Saluti
Ciao Raffaele, benvenuto.
Il problema è irrisolvibile, perché il punto F e il punto B non possono avere la medesima ascissa o ordinata. Infatti B giace lungo uno degli asintoti...assurdo.
Il problema è irrisolvibile, perché il punto F e il punto B non possono avere la medesima ascissa o ordinata. Infatti B giace lungo uno degli asintoti...assurdo.
Ciao @Bokonon !
In effetti ho notato solo ora questo particolare. Con quei dati è impossibile risolvere il problema dato. Grazie di averlo fatto presente.
Non cancello il messaggio precedente solo perché credo possa valere come strategia generale applicabile con dati compatibili.
In effetti ho notato solo ora questo particolare. Con quei dati è impossibile risolvere il problema dato. Grazie di averlo fatto presente.
Non cancello il messaggio precedente solo perché credo possa valere come strategia generale applicabile con dati compatibili.
Ciao @Baymax, il tuo consiglio è certamente utile ma, se posso permettermi, c'è un metodo diretto per risolvere il problema.
Le iperboli non degeneri con asintoti gli assi X e Y centro di simmetria nell'origine sono del tipo $xy=k$ con $k!=0$.
Supponiamo che B fosse stato $(1,3)$.
È sufficiente traslarlo ottenendo $C=B-F=(-1,2)$.
Sostituire C e trovare $k=-2$.
E infine traslare il tutto nel centro di simmetria F, ovvero:
$(x-2)(y-1)=-2 rArr y=(x-4)/(x-2)$
Le iperboli non degeneri con asintoti gli assi X e Y centro di simmetria nell'origine sono del tipo $xy=k$ con $k!=0$.
Supponiamo che B fosse stato $(1,3)$.
È sufficiente traslarlo ottenendo $C=B-F=(-1,2)$.
Sostituire C e trovare $k=-2$.
E infine traslare il tutto nel centro di simmetria F, ovvero:
$(x-2)(y-1)=-2 rArr y=(x-4)/(x-2)$
@Bokonon
Hai assolutamente ragione ! Sicuramente il metodo da te proposto è più rapido e meno "calcoloso", se mi passi il termine. Grazie di averlo postato. Non capisco perché, almeno nei casi che ho visto io, nelle scuole superiori e su alcuni libri di testo, le trasformazioni geometriche vengono spesso bistrattate ed usate al limite per qualche dimostrazione (ad esempio per quella della funzione omografica).
Saluti
Hai assolutamente ragione ! Sicuramente il metodo da te proposto è più rapido e meno "calcoloso", se mi passi il termine. Grazie di averlo postato. Non capisco perché, almeno nei casi che ho visto io, nelle scuole superiori e su alcuni libri di testo, le trasformazioni geometriche vengono spesso bistrattate ed usate al limite per qualche dimostrazione (ad esempio per quella della funzione omografica).
Saluti
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