Problema iperbole

[Anna17lisa]

Scusatemi, non riesco a risolvere questo problema di geometria analitica:

Determina l'equazione dell'iperbole equilatera che individua sulla retta y=3 un segmento di lunghezza 8.
Trova poi l'equazione della tangente all'iperbole nel suo punto A del primo quadrante di ascissa 3 e quella nel punto B di ascissa -3.

Qualcuno può illustrarmi il procedimento da fare?
Grazie.

[salvo911]

L'equazione dell'iperbole sarà:
$x^2-y^2=a^2$
$y=\pm sqrt(x^2-a^2)$
Interseco l'iperbole con la retta $y=3$ ed elevo al $^2$
$x^2-a^2=9 -> x=\pm sqrt(9+a^2)$
Pongo la distanza $d(a)=8$
$d(a)=2|\pm sqrt(9+a^2)|=8$
$36+4a^2=64$
$a=\pm sqrt(7)$
L'iperbole è dunque:
$x^2-y^2=7$
Per la tangente ricavo l'ordinata
$y=sqrt(x^2-7) -> y(3)=sqrt(2) -> A=(3,sqrt(2))$
Adesso applico la tecnica degli sdoppiamenti:
$x_0 x-y_0y=7 -> 3x-sqrt(2)y=7$
Per simmetria l'altra tangente di ascissa -3 sarà: (in realtà ce ne sarebbero due una nel 2 e una nel 3 quadr.)
$-3x-sqrt(2)y=7$

[Anna17lisa]

Grazie.