Problema Iperbole
Ciao a tutti. Sto risolvendo un problema sull'iperbole solo che ho alcuni dubbi: Un'iperbole, con asse trasverso sull'asse delle x, ha per asintoti le rette $y=+-3/4x$ e passa per il punto P$(5;9/4)$. Si determinino:
1) l'equazione dell'iperbole;
2)l'area del triangolo limitato dagli asintoti e dalla teangente all'iperbole parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, che tocca la curva in un punto del primo quadrante.
Ora sto cercando di risolvere il primo punto e ho pensato di mettere a sistema: $25/a^2-(81/16)/b^2=1$ e $b/a=3/4$ Ora, però, non so se è esatto così, poiche dopo anche risolvendolo ho dei problemi. Ad esempio, se il sistema che devo fare è "esatto", qual'è il primo passaggio che devo fare, cioè per toglierlo dalla forma "fratta).
Vi Ringrazio in anticipo per l'aiuto che mi offrirete. Grazie & Ciao.
1) l'equazione dell'iperbole;
2)l'area del triangolo limitato dagli asintoti e dalla teangente all'iperbole parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, che tocca la curva in un punto del primo quadrante.
Ora sto cercando di risolvere il primo punto e ho pensato di mettere a sistema: $25/a^2-(81/16)/b^2=1$ e $b/a=3/4$ Ora, però, non so se è esatto così, poiche dopo anche risolvendolo ho dei problemi. Ad esempio, se il sistema che devo fare è "esatto", qual'è il primo passaggio che devo fare, cioè per toglierlo dalla forma "fratta).
Vi Ringrazio in anticipo per l'aiuto che mi offrirete. Grazie & Ciao.
Risposte
Allora, sto cercando di risolverlo, però ho dei problemi nel risolvere il sistema, ovvero non ho capito quanti sistemi devo fare e come faccio nei primi passaggi.
Ciao!
Se $b/a=3/4$ allora, moltiplicando entrambi i membri per $a$, che è una quantità sicuramente diversa da $0$ avremo che $b=3/4a$. Prova a sostituire questa espressione nella prima equazione.
Se $b/a=3/4$ allora, moltiplicando entrambi i membri per $a$, che è una quantità sicuramente diversa da $0$ avremo che $b=3/4a$. Prova a sostituire questa espressione nella prima equazione.
Ciao. L'ho fatto e mi viene $a^2=16$ , poi ho fatto di nuovo il sistema con $a=4/3b$ e mi viene $b^2=1/144$ , ma penso che sia sbagliato nonostante l'abbia fatto più volte. Spero in un tuo aiuto. Grazie & Ciao.
ok. Facciamo un passaggio alla volta. Se $a=4/3b$ allora, sostituendo, viene $25/(16/9b^2)-(81/16)/b^2=1$ quindi $(25*9)/(16b^2)-81/(16b^2)=1$. Diamo il comun denominatore e risulta: $25*9-81=16b^2$ ossia $16b^2=144$ e, di conseguenza, $b^2=144/16=9$. Ci sei?
Ok. Tutto Chiaro. Quindi: $a^2=16$ e $b^2=9$? Ora?
"smemo89":
Ok. Tutto Chiaro. Quindi: $a^2=16$ e $b^2=9$? Ora?
Ora hai l'equazione dell'iperbole.
Basta sostituire quei valori nell'equazione generale
$x^2/a^2-y^2/b^2=1$
Per la tangente all'iperbole puoi muoverti come meglio credi: formula di sdoppiamento, delta uguale a zero ecc.
Ciao.
Il libro, però, mi da come risultato: $9x^2-16y^2=144$ . Come faccio?
"smemo89":
Il libro, però, mi da come risultato: $9x^2-16y^2=144$ . Come faccio?
Sostituendo i valori che ti ho detto, ottieni
$x^2/16-y^2/9=1$
Il libro semplicemente fa un denominatore comune. Il minimo comun multiplo tra $9$ e $16$ è $144$, quindi
$\frac{9x^2-16y^2}{144}=1$
Moltiplicando ambo i membri per $144$ hai
$9x^2-16y^2=144$
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