Problema integrale
Ciao ragazzi, mi dareste una mano con questo integrale?
$int_(0)^(1) (e^x+1)/(e^(2x)+2e^x+2) dx $
stavo pensando ad una sostituzione del tipo:
$y=e^x$
$dy=e^x dx$
così da ottenere:
$int_(1)^(e) (y+1)/(y(y^(2)+2y+2)) dy $
potrebbe essere la via corretta o ce ne sono di più immediate?
grazie
$int_(0)^(1) (e^x+1)/(e^(2x)+2e^x+2) dx $
stavo pensando ad una sostituzione del tipo:
$y=e^x$
$dy=e^x dx$
così da ottenere:
$int_(1)^(e) (y+1)/(y(y^(2)+2y+2)) dy $
potrebbe essere la via corretta o ce ne sono di più immediate?
grazie
Risposte
è corretto,non che credo che ci siano strade più brevi
grazie stormy! riesci a darmi una mano su come proseguire?
è un integrale fratto,quindi prima di tutto lo devi scrivere nella forma
$A/y+B/(y^2+2y+2)$
facendo il m.c.m,con il principio di identità dei polinomi,trovi i valori di $A$ e $B$(ma penso che tu già la conoscessi la tecnica
)
$A/y+B/(y^2+2y+2)$
facendo il m.c.m,con il principio di identità dei polinomi,trovi i valori di $A$ e $B$(ma penso che tu già la conoscessi la tecnica
)
Distrattone! La formula è
$A/y+(By+C)/(y^2+2y+2)$
$A/y+(By+C)/(y^2+2y+2)$
grazie ad entrambi!
svolgendo i calcoli mi viene:
$1/2int_(1)^(e) 1/y dy + 1/2int_(1)^(e) y/(y^2+2y+2) dy =
$
$1/2int _(1)^(e) 1/y dy + 1/2int_(1)^(e) y/(y(y+2)+2) dy=$
$ 1/2 int _(1)^(e) 1/y dy + 1/2int_(1)^(e) 1/(y+4) dy=$
$1/2[log(e)-log(1)]+ 1/2[log(e+4)-log(2)]=1/2log(e)+1/2log((e+4)/2)=$
$1/2log((e^2+4e)/2)$
è corretto?
svolgendo i calcoli mi viene:
$1/2int_(1)^(e) 1/y dy + 1/2int_(1)^(e) y/(y^2+2y+2) dy =
$
$1/2int _(1)^(e) 1/y dy + 1/2int_(1)^(e) y/(y(y+2)+2) dy=$
$ 1/2 int _(1)^(e) 1/y dy + 1/2int_(1)^(e) 1/(y+4) dy=$
$1/2[log(e)-log(1)]+ 1/2[log(e+4)-log(2)]=1/2log(e)+1/2log((e+4)/2)=$
$1/2log((e^2+4e)/2)$
è corretto?
No: nel passare dalla seconda alla terza riga non si può semplificare la $y$ perché a denominatore hai una somma e non un prodotto. Invece devi notare che
$y/(y^2+2y+2)=(y+1-1)/((y+1)^2+1)$
e fare la sostituzione $t=y+1$. Spezzi poi la frazione ottenuta nella somma di altre due, entrambe immediatamente integrabili.
$y/(y^2+2y+2)=(y+1-1)/((y+1)^2+1)$
e fare la sostituzione $t=y+1$. Spezzi poi la frazione ottenuta nella somma di altre due, entrambe immediatamente integrabili.
Hai ragione!
ho provato a svolgerlo:
$1/2[loge-log1]+1/2int_1^(e) (y+1-1)/((y+1)^2+1) dy$
sostituisco:
$t=y+1 $
$dt=dy$
ottenendo:
$1/2 +1/2int_2^(e+1) (t-1)/(t^2+1) dt rArr$
$1/2 +1/2[int_2^(e+1) (t)/(t^2+1) dt -int_2^(e+1) ( 1)/(t^2+1)dt]rArr$
$1/2 +1/2[1/2int_2^(e+1) (2t)/(t^2+1) dt -int_2^(e+1) ( 1)/(t^2+1)dt]rArr$
$1/2 +1/2{ 1/2[log(e^2+2e-2)-log(5)]-[arctan(e+1)-arctan(2)]}rArr$
$1/2+1/4(log((e^2+2e-2)/(5)))-1/2[arctan(e+1)-arctan(2)]$
è corretto?
ho provato a svolgerlo:
$1/2[loge-log1]+1/2int_1^(e) (y+1-1)/((y+1)^2+1) dy$
sostituisco:
$t=y+1 $
$dt=dy$
ottenendo:
$1/2 +1/2int_2^(e+1) (t-1)/(t^2+1) dt rArr$
$1/2 +1/2[int_2^(e+1) (t)/(t^2+1) dt -int_2^(e+1) ( 1)/(t^2+1)dt]rArr$
$1/2 +1/2[1/2int_2^(e+1) (2t)/(t^2+1) dt -int_2^(e+1) ( 1)/(t^2+1)dt]rArr$
$1/2 +1/2{ 1/2[log(e^2+2e-2)-log(5)]-[arctan(e+1)-arctan(2)]}rArr$
$1/2+1/4(log((e^2+2e-2)/(5)))-1/2[arctan(e+1)-arctan(2)]$
è corretto?
"giammaria":
Distrattone! La formula è
$ A/y+(By+C)/(y^2+2y+2) $
sì,mi scuso
anche se di distrazione,è un grave errore
@ nicolae. E' corretto, a parte un piccolo errore di distrazione: dove hai scritto $-2$ era in realtà $+2$.
Quando integri ti consiglio di scrivere sempre l'integrale indefinito perché il vederlo rende più facili sia i tuoi calcoli sia il loro esame. Quindi dopo la tua terza riga avresti dovuto aggiungere
$1/2 +1/2{1/2[log(t^2+1)]_2^(e+1)-[arctant]_2^(e+1)}$
Quando integri ti consiglio di scrivere sempre l'integrale indefinito perché il vederlo rende più facili sia i tuoi calcoli sia il loro esame. Quindi dopo la tua terza riga avresti dovuto aggiungere
$1/2 +1/2{1/2[log(t^2+1)]_2^(e+1)-[arctant]_2^(e+1)}$
grazie del consiglio!!
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