Problema in cui la funzione dipende da parametri
determina i coefficienti a , b , c della funzione
soluzioni date dal libro : [
[math]y=ax^3+x^2+bx+x[/math]
in modo che il suo grafico passi per il punto A (0 , 2) e che nel punto B (1,3) abbia la tangente inclinata di 120° rispetto all'asse x.soluzioni date dal libro : [
[math]a=-\frac{\sqrt{3}+2}{2} ; b=\frac{\sqrt{3}+2}{2} ; c=2 [/math]
]
Risposte
Ciao, Aneres!
Credo ci sia un errore nel testo postato. Immagino che l'equazione corretta sia:
Fatta questa premessa, procedo subito con la soluzione:
Soluzione:
Il fatto che il grafico passi per i punto A(0,2) pone una prima condizione:
Anche il punto B (1,3), però, appartiene al grafico, dunque:
Dobbiamo adesso trovare l'equazione della retta tangente al grafico. Di questa retta si sa che deve essere inclinata di 120° rispetto all'asse x, e che deve passare per il punto B(1,3). Infatti B, essendo punto di tangenza, deve appartenere sia alla retta che al primo grafico.
L'equazione generica della retta è:
m può essere trovato grazie all'informazione della pendenza rispetto all'asse x.
Infatti m, coefficiente angolare della retta è pari a:
Nel caso di 120°, la sua tangente è pari alla tangente di -60°.
La tangente di -60° = - (sen60°/cos 60°) =
Quindi
Sostituisco adesso nell'equazione le coordinate di B, in modo da trovare n.
Quindi
Ora, retta e primo grafico devo essere tangenti nel punto B.
Dunque determino innanzi tutto la derivata prima del grafico, e sostituisco poi ad x il valore dell'ascissa di B.
Y'(1) dovrà essere uguale al coefficiente angolare della retta:
Sapendo che a = -b, posso scrivere:
a, invece, essendo pari a -b, è pari a:
Fine. Stavolta la soluzione del libro era giusta. Mi chiedo però se nell'altro post tu non abbia per caso sbagliato a scrivere l'equazione della parabola oppure le coordinate dei punti. Può essere una possibilità, no?
Ciao, Aneres, spero di esserti stata utile!
Ne approfitto -caso mai non l'avessi già fatto- per ricordarti del concorso di skuola.net per i membri della community: "vinci un tutor per un'ora".
Se sei interessata a partecipare, ecco qui le istruzioni che ti spiegano come fare:
https://www.skuola.net/is/ms-skydrive/regolamento-vinci-tutor.html
Ciao di nuovo!
Credo ci sia un errore nel testo postato. Immagino che l'equazione corretta sia:
[math]y = ax^3 +x^2 +bx + c [/math]
, vero? Altrimenti il parametro c non appare mai, e il grafico non passa per il punto A.Fatta questa premessa, procedo subito con la soluzione:
Soluzione:
Il fatto che il grafico passi per i punto A(0,2) pone una prima condizione:
[math]y = ax^3 +x^2 +bx + c [/math]
[math]2 = c [/math]
Anche il punto B (1,3), però, appartiene al grafico, dunque:
[math]3 = a +1 +b + 2 [/math]
[math]3 -2 -1 = a +b [/math]
[math]0 = a +b [/math]
[math]a = -b [/math]
Dobbiamo adesso trovare l'equazione della retta tangente al grafico. Di questa retta si sa che deve essere inclinata di 120° rispetto all'asse x, e che deve passare per il punto B(1,3). Infatti B, essendo punto di tangenza, deve appartenere sia alla retta che al primo grafico.
L'equazione generica della retta è:
[math]y=mx+n[/math]
m può essere trovato grazie all'informazione della pendenza rispetto all'asse x.
Infatti m, coefficiente angolare della retta è pari a:
[math]m= tangente (angolo)[/math]
Nel caso di 120°, la sua tangente è pari alla tangente di -60°.
La tangente di -60° = - (sen60°/cos 60°) =
[math]- (\sqrt{3}/2 :1/2) = -(\sqrt{3}/2 *2) = -\sqrt{3} [/math]
Quindi
[math]y = -\sqrt{3}*x + n[/math]
Sostituisco adesso nell'equazione le coordinate di B, in modo da trovare n.
[math]3= -\sqrt{3} + n[/math]
[math]n= 3 +\sqrt{3}[/math]
Quindi
[math]y = -\sqrt{3}*x + 3 +\sqrt{3}[/math]
Ora, retta e primo grafico devo essere tangenti nel punto B.
Dunque determino innanzi tutto la derivata prima del grafico, e sostituisco poi ad x il valore dell'ascissa di B.
[math]y = ax^3 +x^2 +bx + 2 [/math]
[math]y' = 3ax^2 + 2 x + b[/math]
[math]y'(1) = 3a + 2 + b[/math]
Y'(1) dovrà essere uguale al coefficiente angolare della retta:
[math]3a + 2 + b = -\sqrt{3}[/math]
Sapendo che a = -b, posso scrivere:
[math]-3b + 2 + b = -\sqrt{3}[/math]
[math]-2b = -\sqrt{3} -2[/math]
[math]2b = \sqrt{3} +2[/math]
[math]b = (\sqrt{3} +2)/2[/math]
a, invece, essendo pari a -b, è pari a:
[math] - (\sqrt{3} +2)/2[/math]
Fine. Stavolta la soluzione del libro era giusta. Mi chiedo però se nell'altro post tu non abbia per caso sbagliato a scrivere l'equazione della parabola oppure le coordinate dei punti. Può essere una possibilità, no?
Ciao, Aneres, spero di esserti stata utile!
Ne approfitto -caso mai non l'avessi già fatto- per ricordarti del concorso di skuola.net per i membri della community: "vinci un tutor per un'ora".
Se sei interessata a partecipare, ecco qui le istruzioni che ti spiegano come fare:
https://www.skuola.net/is/ms-skydrive/regolamento-vinci-tutor.html
Ciao di nuovo!
grazie!.. no ho ricontrollato sia i punti che la parabola.. è ho scritto tutto bene.. boh non so perchè..cioè seguendo il mio procedimento i risultati a me venivano come nel libro però ecco appunto graficamente era una retta secante e non tangente...
..
ho un'altro dubbio su questo problema
..
considera la funzione
lo stesso anche con questo problema (SCUSAMI MA MI SONO VENUTI DEI GRAN DUBBI!)
Determina i coefficienti a e b in modo che il grafico della funzione
..
ho un'altro dubbio su questo problema
..
considera la funzione
[math]y=ax^3+2x^2-bx+1[/math]
. Calcola il valore di a e di b in modo che il grafico della funzione sia tangente alla retta2x-y+5=0 nel punto A(2,1) . il libro da come risultati a=-1/4 b=3 e mi da un grafico in cui sì c'è la tangente in quel punto ma sembra che comunque tagli la funzione lo stesso anche con questo problema (SCUSAMI MA MI SONO VENUTI DEI GRAN DUBBI!)
Determina i coefficienti a e b in modo che il grafico della funzione
[math]y=asenx+bcosx[/math]
abbia nel punto [math]A\left ( \frac{\Pi }{4} , \sqrt{2}\right )[/math]
tangente parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. -> risult dal libro [math]a=\frac{2-\sqrt{2}}{2} b=\frac{2+\sqrt{2}}{2}[/math]
anche qui sì la retta è tangente ma taglia la funzione..perchè graficamente viene così??? :(
mi sa che volevi dire
allora imponiamo il passaggio per A e B andando a sostituire le coordinate (0,2) e (1,3) e ricaviamo
c=2
3=a+1+b+2 ---> a=-b
una retta generica ha equazione y=mx+q con m=coef. angolare= tangente dell'angolo quindi
e di conseguenza
e ricaviamo
a questo punto mettiamo in sistema la funzione con la retta
a questo punto, per continuare, ho bisogno di sapere una cosa...hai fatto le equazioni di terzo grado?
[math]y=ax^3+x^2+bx+c [/math]
vero? allora imponiamo il passaggio per A e B andando a sostituire le coordinate (0,2) e (1,3) e ricaviamo
c=2
3=a+1+b+2 ---> a=-b
una retta generica ha equazione y=mx+q con m=coef. angolare= tangente dell'angolo quindi
[math]m=tg (120)=- \sqrt{3} [/math]
e di conseguenza
[math]y= - \sqrt{3}x+q [/math]
dove q si ricava imponendo il passaggio per B [math]3= - \sqrt{3}+q [/math]
quindi [math] q=3+ \sqrt{3} [/math]
e ricaviamo
[math]y= - \sqrt{3}x+3+ \sqrt{3} [/math]
a questo punto mettiamo in sistema la funzione con la retta
[math]
\left{
y=-bx^3+x^2+bx+2\\
y=- \sqrt{3}x+3+ \sqrt{3}\\
[/math]
\left{
y=-bx^3+x^2+bx+2\\
y=- \sqrt{3}x+3+ \sqrt{3}\\
[/math]
[math]
\left{
- \sqrt{3}x+3+ \sqrt{3}=-bx^3+x^2+bx+2\\
y=- \sqrt{3}x+3+\sqrt{3}\\
[/math]
\left{
- \sqrt{3}x+3+ \sqrt{3}=-bx^3+x^2+bx+2\\
y=- \sqrt{3}x+3+\sqrt{3}\\
[/math]
[math]
\left{
-bx^3+x^2+x(b+ \sqrt{3}) -1- \sqrt{3}=0\\
y=- \sqrt{3}x+3+ \sqrt{3}\\
[/math]
\left{
-bx^3+x^2+x(b+ \sqrt{3}) -1- \sqrt{3}=0\\
y=- \sqrt{3}x+3+ \sqrt{3}\\
[/math]
a questo punto, per continuare, ho bisogno di sapere una cosa...hai fatto le equazioni di terzo grado?
no no la funzione scritta è giusta..i calcoli li ho anche fatti e risultati vengono ma è il grafico il problema ..cioè a me non sembra una tangente ecco.. sia in questo problema si ain quello che ho scritto dopo
"considera la funzione . Calcola il valore di a e di b in modo che il grafico della funzione sia tangente alla retta2x-y+5=0 nel punto A(2,1) . il libro da come risultati a=-1/4 b=3 e mi da un grafico in cui sì c'è la tangente in quel punto ma sembra che comunque tagli la funzione"
Scusami aneres93, con questi dati la retta 2x-y+5=0, non può essere tangente nel punto P(2,1), infatti se fosse tangente dovrebbe assumere anche lei i medesimi valori, ma se impostiamo x = 2, otteniamo:
y = 2x +5 = 9, non 1, per cui è giusto che nel grafico ti venga una retta che taglia la funzione.
La retta tangente nel punto P, ammesso che i parametri forniti come soluzione dal libro siano corretti, dovrebbe avere la seguente formula:
y = 2x + q che diventa 1 = 2*2 +q, da cui q = 1 - 4 = -3,
Ed infatti, se costruisci il grafico della reta y = 2x - 3, vedrai che è tangente nel punto P (2,1) con i parametri a e b forniti come soluzione del libro.
Quindi, a questo punto il dubbio che mi sorge è: sono sbagliati i parametri di soluzione e la formula della retta data è giusta, o è sbagliata la formula della retta mentre sono giusti i paramentri.
Fatto sta che in quel libro risultano esserci un po' troppi errori.
Saluti, MAssimiliano
Scusami aneres93, con questi dati la retta 2x-y+5=0, non può essere tangente nel punto P(2,1), infatti se fosse tangente dovrebbe assumere anche lei i medesimi valori, ma se impostiamo x = 2, otteniamo:
y = 2x +5 = 9, non 1, per cui è giusto che nel grafico ti venga una retta che taglia la funzione.
La retta tangente nel punto P, ammesso che i parametri forniti come soluzione dal libro siano corretti, dovrebbe avere la seguente formula:
y = 2x + q che diventa 1 = 2*2 +q, da cui q = 1 - 4 = -3,
Ed infatti, se costruisci il grafico della reta y = 2x - 3, vedrai che è tangente nel punto P (2,1) con i parametri a e b forniti come soluzione del libro.
Quindi, a questo punto il dubbio che mi sorge è: sono sbagliati i parametri di soluzione e la formula della retta data è giusta, o è sbagliata la formula della retta mentre sono giusti i paramentri.
Fatto sta che in quel libro risultano esserci un po' troppi errori.
Saluti, MAssimiliano
mando un email alla prof..con tutte queste osservazioni va farò sapere.. grazie comunque ! :)
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