Problema goniometria

[monkeydtommy]

coma posso risolvere sin(3/2x)=2senx ?

[BIT5]

Devi risolverla algebricamente o graficamente?

[ciampax]

Poniamo

[math]y=x/2[/math]

per cui l'equazione diventa

[math]\sin(3y)=2\sin(2y)[/math]

ed usando la formula di addizione

[math]\sin(2y) \cos(y)+\sin(y)\cos(2y)=2\sin(2y)[/math]

e dalla formula di duplicazione del seno

[math]2\sin y\cos^2 y+\sin y\cos(2y)=4\sin y\cos y[/math]

e quindi

[math]\sin y(2\cos^2 y+\cos(2y)-4\cos y)=0[/math]

.

Ricordando che

[math]\cos(2y)=2\cos^2 y-1[/math]

, si ottengono le due equazioni

[math]\sin y=0,\qquad 4\cos^2y-4\cos y-1=0[/math]

.

La prima ha come soluzioni

[math]y=k\pi[/math]

,

[math]k\in\mathbb{Z}[/math]

. La seconda, posto

[math]t=\cos y[/math]

diventa

[math]4t^2-4t-1=0[/math]

le cui radici sono

[math]t_1=(1-\sqrt{2})/2,\qquad t_2=(1+\sqrt{2})/2[/math]

, e conducono alle due equazioni

[math]\cos y=\frac{1-\sqrt{2}}{2},\qquad \cos y=\frac{1+\sqrt{2}}{2}[/math]

.

La seconda è impossibile in quanto

[math](1+\sqrt{2})/2>1[/math]

, mentre per la prima si hanno le soluzioni

[math]y=\pm\alpha+2k\pi,\qquad \alpha=\arccos\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)[/math]

Le soluzioni dell'equazione originale sono, pertanto,

[math]x=2k\pi,\qquad x=\pm 2\alpha+4k\pi,\qquad \alpha=\arccos\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)[/math]

.

Ecco fatto.