Problema geometrico terzo liceo scientifico:calcoli lunghi?

[Marco241]

E' data una semicirconferenza di centro O e diametro $ bar(AB)=2*r $.Sia C un punto sul prolungamento di AB ,oltre A ,tale che $ bar(OC)=2*r $.Condurre da C una secante che incontri in D ed in E la semicirconferenza in modo che si abbia

$ bar(DE)+bar(OH)=k*bar(AC) $

Essendo H il piede della perpendicolare condotta da O alla secante.(SCUSATE RAGAZZI HO DIMENTICATO QUESTO PEZZO)





SVOLGIMENTO:

Considero il triangolo ODC e mi traccio l'altezza relativa al lato OC cioè DK.Pongo

$ bar(AK)=x $

con

$ 0<=x<=2*r $

tuttavia questa mia scelta si rivelerà dolorosa in seguito.Infatti dopo aver calcolato i lati del triangolo CDK ,considero i triangoli simili CDK e CHO...calcolando i lati noto che l'equazione risolvente comincia a complicarsi parecchio...nel mio disegno

$ bar(OH) $

cade all'interno della corda DE e quindi

$ bar(DE)=2*bar(DH) $

Infatti il triangolo DEO è isoscele con altezza OH.

Vedete una strada più breve?

[giammaria2]

Dai tuoi calcoli deduco che H è il piede della perpendicolare condotta da O alla secante; io porrei $OH=x$ ottenendo calcoli molto semplificati (basta guardare il triangolo DHO). La scelta è giustificata dal fatto che la conoscenza di OH permette di fare il disegno in un unico modo: basta disegnare la semicirconferenza di diametro CO ed in questa considerare la corda OH.

[@melia]

Non dici chi è OH anche se credo di desumere che sia la proiezione di O sulla corda DE, se è vero, ponendo $DH=x$ con $0<=x<=r$il problema si risolve in poche righe.
Soluzioni: 1 soluzione per $1<=k<2$, 2 soluzioni per $2<=k<=sqrt5$

[giammaria2]

Vedo che @melia la pensa come me; mi sembra però che la mia scelta di incognita sia più facile da giustificare (la lunghezza dei calcoli è la stessa). Strano però che la posizione di C non intervenga nei calcoli né nelle limitazioni ma solo nella giustificazione per la scelta di $x$; non ci sarà qualche fraintendimento?

[Marco241]

Si ragazzi avete ragione :OH è la scelta migliore.Grazie!