Problema geometrico sulle coniche e parametrico ??!
Buonasera ... 
Gentilmente potreste darmi una mano a risolvere i seguenti esercizi, ai quali non riesco a trovare una soluzione 
. Eccoli:
1) Data una semicirconferenza di centro O e diametro AB=4, sia P un punto posto sul prolungamento di AB tale che sia PB=1/2AB; una secante per P incontra la circonferenza in C e in D (con PC
)
http://imageshack.us/f/844/q0hs.png/
Di indicare PC=x ed inseguito impostare una proporzione secondo cui : PA:PB=PD:PC così che PD=(PA*PB)/PC
una volta fatto ciò PA=4+2=6 e conseguentemente PB=2, percoò PD=6*2/x PD= 12/x
ed andando a sostituirlo in: k*PC+PD=8, viene: kx^2-8x+12=0, ma poi qui mi blocco ....
2) Qui vi è un sistema parametrico: x+√(x+x^2)=k e 1/4
Ringrazio tutti coloro che mi aiuteranno e spero che si arrivi ad una soluzione.
P.s: al primo problema potreste propormi una strada più facile senza l'impostazione di proporzioni ... altrimenti il problema si fa lungo ... D:
Vi ringrazio nuovamente
Gentilmente potreste darmi una mano a risolvere i seguenti esercizi, ai quali non riesco a trovare una soluzione . Eccoli:1) Data una semicirconferenza di centro O e diametro AB=4, sia P un punto posto sul prolungamento di AB tale che sia PB=1/2AB; una secante per P incontra la circonferenza in C e in D (con PC
)http://imageshack.us/f/844/q0hs.png/
Di indicare PC=x ed inseguito impostare una proporzione secondo cui : PA:PB=PD:PC così che PD=(PA*PB)/PC
una volta fatto ciò PA=4+2=6 e conseguentemente PB=2, percoò PD=6*2/x PD= 12/x
ed andando a sostituirlo in: k*PC+PD=8, viene: kx^2-8x+12=0, ma poi qui mi blocco ....
2) Qui vi è un sistema parametrico: x+√(x+x^2)=k e 1/4
Ringrazio tutti coloro che mi aiuteranno e spero che si arrivi ad una soluzione.
P.s: al primo problema potreste propormi una strada più facile senza l'impostazione di proporzioni ... altrimenti il problema si fa lungo ... D:
Vi ringrazio nuovamente
Risposte
Problema 1
Stai applicando il teorema delle due secanti (ed è la strada migliore), secondo il quale però la proporzione è $PA:PD=PC:PB$; io trovo più comodo ricordarla come $PA*PB=PC*PD$. Probabilmente hai solo trascritto male qui nel forum, visto che dai il giusto $PD=12/x$ e trovi la mia stessa equazione. Per proseguire devi poi trovare la limitazione su $x$: il valore più piccolo si ha quando $C$ coincide con $B$ ed il più grande quando la secante diventa tangente in un punto $T$. Notando che il triangolo $OPT$ è un mezzo triangolo equilatero ti è facile calcolare $PT$ e scrivere la limitazione.
Io ho poi continuato scrivendo l'equazione nella forma
$x^2=1/k(8x-12)->{(y=x^2),( y=1/k(8x-12)):}$
ma non so quali metodi hai studiato tu.
Per le formule, metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine: la tua kx^2-8x+12=0 compare così: $kx^2-8x+12=0$. La radice quadrata si ottiene scrivendo sqrt
Stai applicando il teorema delle due secanti (ed è la strada migliore), secondo il quale però la proporzione è $PA:PD=PC:PB$; io trovo più comodo ricordarla come $PA*PB=PC*PD$. Probabilmente hai solo trascritto male qui nel forum, visto che dai il giusto $PD=12/x$ e trovi la mia stessa equazione. Per proseguire devi poi trovare la limitazione su $x$: il valore più piccolo si ha quando $C$ coincide con $B$ ed il più grande quando la secante diventa tangente in un punto $T$. Notando che il triangolo $OPT$ è un mezzo triangolo equilatero ti è facile calcolare $PT$ e scrivere la limitazione.
Io ho poi continuato scrivendo l'equazione nella forma
$x^2=1/k(8x-12)->{(y=x^2),( y=1/k(8x-12)):}$
ma non so quali metodi hai studiato tu.
Per le formule, metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine: la tua kx^2-8x+12=0 compare così: $kx^2-8x+12=0$. La radice quadrata si ottiene scrivendo sqrt
Vedo che giammaria ha già pensato al primo problema, quindi provo a dire qualcosa del secondo. Riporto il testo: \[\begin{cases}
x+\sqrt{x+x^2} = k\\
\frac{1}{4}
\begin{cases}
\frac{k^2}{2k+1} \le k\\\\\\\\
\frac{1}{4}<\frac{k^2}{2k+1}\le 1
\end{cases}\quad ...\]
x+\sqrt{x+x^2} = k\\
\frac{1}{4}
\begin{cases}
\frac{k^2}{2k+1} \le k\\\\\\\\
\frac{1}{4}<\frac{k^2}{2k+1}\le 1
\end{cases}\quad ...\]
Vi ringrazio per le risposte complete ed esaudienti !
Avrei ancora un piccolo dubbio ....
Nel 2° esercizio, quando impongo nel sistema:
k^2/2k+1≤k e 1/4
Grazie ancora !
Avrei ancora un piccolo dubbio ....
Nel 2° esercizio, quando impongo nel sistema:
k^2/2k+1≤k e 1/4
Grazie ancora !
Sì esatto, ti trovi \[\frac{k^2}{2k+1}-k\le 0\] e poi fai il m.c.m e discuti il segno del numeratore e quello del denominatore.
Quindi verrebbe: k^2-2k^2-k/2k+1≤0
Numeratore : k^2-2k^2-k≤0 Δ =8=2√2 k=(2+/-2√2)/2 1-√2≤k≤1+√2
Denominatore: 2k+1>0 k>-1/2
Dovrei fare il grafico del segno a questo punto o il grafico delle soluzioni? E dopo come dovrei continuare ...?
Grazie
Numeratore : k^2-2k^2-k≤0 Δ =8=2√2 k=(2+/-2√2)/2 1-√2≤k≤1+√2
Denominatore: 2k+1>0 k>-1/2
Dovrei fare il grafico del segno a questo punto o il grafico delle soluzioni? E dopo come dovrei continuare ...?
Grazie
Per favore usa le formule perchè altrimenti si fa fatica a leggere.
Comunque io trovo questo: \[
\frac{k^2}{2k+1}\le k \quad\Rightarrow\quad \frac{-k^2-k}{2k+1}\le 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{k\left(k+1\right)}{2k+1}\ge 0
\] Dal grafico dei segni trovo \[-1\le k < -\frac{1}{2} \quad \vee \quad k \ge 0\] Ora puoi procedere con l'altra, cioè \[
\frac{1}{4}<\frac{k^2}{2k+1}\le 1
\] che può essere spezzata in questo sistema \[
\begin{cases}
\frac{k^2}{2k+1} > \frac{1}{4}\\\\\\
\frac{k^2}{2k+1} \le 1
\end{cases}\]
Comunque io trovo questo: \[
\frac{k^2}{2k+1}\le k \quad\Rightarrow\quad \frac{-k^2-k}{2k+1}\le 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{k\left(k+1\right)}{2k+1}\ge 0
\] Dal grafico dei segni trovo \[-1\le k < -\frac{1}{2} \quad \vee \quad k \ge 0\] Ora puoi procedere con l'altra, cioè \[
\frac{1}{4}<\frac{k^2}{2k+1}\le 1
\] che può essere spezzata in questo sistema \[
\begin{cases}
\frac{k^2}{2k+1} > \frac{1}{4}\\\\\\
\frac{k^2}{2k+1} \le 1
\end{cases}\]
Mi scusi per la scarsa comprensibilità dei caratteri, ma non mi dà l'accesso alla pagina per la guida alle formule, comunque una volta impostato il sistema devo trovarmi le soluzioni del k ed unirle?
No attenzione: le disequazioni sono messe a sistema, quindi le loro soluzioni vanno intersecate.
PS. Dammi pure del tu!
PS. Dammi pure del tu!
:S non riesco proprio a capirlo, potresti darmi un incipit per la soluzione ?? graziee!
Certo! Le soluzioni delle disequazioni saranno sotto forma di intervalli. Metterle a sistema significa prendere le parti comuni di questi intervalli.
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